B5

Bestimme rechnerisch die Höhe und die Länge der Brücke

Höhe

Die Höhe der Brücke entspricht dem y-Achsenabschnitt von $f$.

$\Rightarrow f(0)=1$

Die Höhe der Brücke beträgt $1\mathrm{d}\mathrm{m}$.

Länge

Berechne die Koordinaten des Tiefpunktes:

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime }(x)=0$.

Berechne $f^{\prime }(x)$:

$f^{\prime }(x={\displaystyle \frac{4}{20}}{x}^3-{\displaystyle \frac{4}{5}}x={\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot x\cdot (x^2-4)$

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0={\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot x\cdot (x^2-4)$

Es folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$x=0\vee x=\pm 2$

An den Stellen $x=-2,x=0$ und $x=2$ liegen Extremstellen vor.

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime \prime }(x)\ne 0$.

Berechne $f^{\prime \prime }(x)$:

$f^{\prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{5}}{x}^2-{\displaystyle \frac{4}{5}}$

Setze die berechneten Extremstellen ein:

$f^{\prime \prime }(0)=-{\displaystyle \frac{4}{5}}<0\Rightarrow HP$

$f^{\prime \prime }(-2)={\displaystyle \frac{3}{5}}(-2{)}^2-{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{8}{5}}>0\Rightarrow TP$

$f^{\prime \prime }(2)={\displaystyle \frac{3}{5}}{2}^2-{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{8}{5}}>0\Rightarrow TP$

An den Stellen $x=-2$ bzw. $x=2$ liegen die Tiefpunkte des Graphen von $f$.

$\Rightarrow$Länge der Brücke entspricht dem Abstand der x-Koordinaten der beiden Tiefpunkte $l=2-(-2)=4$

Die Länge der Brücke beträgt $4\mathrm{d}\mathrm{m}$.

Prüfe, ob dieser Punkt auf halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und deren rechtem Endpunkt liegt

Höchster Punkt der oberen Randlinie:

Berechne $f(1)={\displaystyle \frac{1}{20}}{1}^4-{\displaystyle \frac{2}{5}}{1}^2+1={\displaystyle \frac{1}{20}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}+1={\displaystyle \frac{13}{20}}=\mathrm{0,65}$.

Rechter Endpunkt:

Berechne $f(2)={\displaystyle \frac{1}{20}}{2}^4-{\displaystyle \frac{2}{5}}{2}^2+1={\displaystyle \frac{16}{20}}-{\displaystyle \frac{8}{5}}+1={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}$.

Die Mitte zwischen den beiden Punkten ist $\frac{1}{2}(f(0)+f(2))=\frac{1}{2}(1+\mathrm{0,2})=\mathrm{0,6}$.

Da $f(1)=\mathrm{0,65}\ne \mathrm{0,6}$ ist, liegt dieser Punkt nicht auf halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und deren rechtem Endpunkt.

Bestimme die größte Steigung der Brücke, die beim Überfahren zu überwinden ist

Die 1. Ableitung muss maximal werden:

$f^{\prime }(x={\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^3-{\displaystyle \frac{4}{5}}x$

Lasse Dir den Graphen von $f^{\prime }(x)$ anzeigen und bestimme das Maximum:

Man erhält $x_M\approx -\mathrm{1,1547...}$ und $y_M\approx \mathrm{0,61584...}\Rightarrow HP(-\mathrm{1,155}|\mathrm{0,616})$

Die größte Steigung der Brücke, die beim Überfahren zu überwinden ist, ist $f^{\prime }(\mathrm{1,155})\approx \mathrm{0,616}$.

Bestimme alle Werte von $a$, die für diese Länge mindestens $\mathrm{0,1}\mathrm{d}\mathrm{m}$ liefern

Wenn $s=\mathrm{0,1}$ ist, dann muss $x=-1+\mathrm{0,1}=-\mathrm{0,9}$ sein.

Berechne für $x=-\mathrm{0,9}$ die Nullstelle von $q_a(x)=\mathrm{0,8}-a\cdot x^2$.

$\Rightarrow 0=\mathrm{0,8}-a\cdot (-\mathrm{0,9}{)}^2\Rightarrow 0=\mathrm{0,8}-\mathrm{0,81}\cdot a\Rightarrow a={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,81}}}={\displaystyle \frac{80}{81}}\approx \mathrm{0,988}$

Der Graph von $q_a$ ist für $a>0$ eine nach unten geöffnete Parabel.

Wird $a$ größer, wird die Parabel in y-Richtung gestreckt, d.h. der Abstand zwischen den Nullstellen wird kleiner. Dies hat zur Folge, dass $s$ größer wird.

Somit ist für $a\ge \mathrm{0,988}$ die Länge $s$ mindestens $\mathrm{0,1}\mathrm{d}\mathrm{m}$ lang.

Begründe im Sachzusammenhang, dass für die Beschreibung der unteren Randlinie beliebig große Werte von $a$ nicht infrage kommen

Je größer $a$ wird, umso kleiner wird die Breite der Durchfahrt für die Züge (der Graph von $q_a$ wird schmaler).

Die Öffnungsbreite muss größer als die Breite des Zuges sein.

Ermittle die Masse des mittleren Bauteils

Bekannt sind: Für die Brücke gilt $a=\mathrm{1,25}$. Die drei Bauteile der Brücke werden aus massivem Holz hergestellt; $1{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$ des Holzes hat eine Masse von $800$ Gramm. Die Brücke ist $\mathrm{0,4}\mathrm{d}\mathrm{m}$ breit.

$q_{\mathrm{1,25}}(x)=\mathrm{0,8}-\mathrm{1,25}\cdot x^2$

Berechne die Nullstellen von $q_a$:

$0=\mathrm{0,8}-\mathrm{1,25}\cdot x^2\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{1,25}}}=\mathrm{0,64}\Rightarrow x=\pm \mathrm{0,8}$.

Nun kann der Flächeninhalt des mittleren Bauteils berechnet werden. (Beachte, dass das Flächenstück symmetrisch zur y-Achse ist.):

$$A=2\cdot \left({\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x-{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{0,8}}^0{q}_{\mathrm{1,25}}(x)\mathrm{d}x}}\right)$$

Der Flächeninhalt des mittleren Bauteils beträgt $A=\mathrm{0,9}{\mathrm{d}\mathrm{m}}^2$.

Da die Brücke $\mathrm{0,4}\mathrm{d}\mathrm{m}$ breit ist, berechnet man das Volumen mit:$V=A\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,36}$

Das Volumen beträgt $\mathrm{0,36}{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$.

$1{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$ des Holzes hat eine Masse von $800$ Gramm.

Die Masse des mittleren Bauteils ist dann $m=V\cdot 800=\mathrm{0,36}\cdot 800=288$.

Die Masse des mittleren Bauteils beträgt $m=288\mathrm{g}$.

Entscheide jeweils begründet, welche der folgenden Eigenschaften auf die Funktionen $g_l$ und $g_r$ zutreffen

(1) $-g_l(x)=g_r(-x)$ für $-2\le x\le -1$

Die Gleichung besagt, dass die Graphen der Funktionen $g_l$ und $g_r$ punktsymmetrisch zum Ursprung in den Intervallen $[-2;-1]$ und $[1;2]$ sind.

Da die Graphen aber nicht punktsymmetrisch sind, ist die Aussage nicht richtig.

(2) $g_l(x-1)=g_r(-x+1)$ für $-1\le x\le 0$

Die Gleichung besagt, dass die Graphen der Funktionen $g_l$ und $g_r$ achsensymmetrisch zur y-Achse in den Intervallen $[-2;-1]$ und $[1;2]$ sind.

Das entspricht den Gegebenheiten. Die Aussage ist richtig.