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  1. 1

    Aufgabe 1

    Die Abbildung 1 zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.

    Abbildung 1

    Abbildung 1

    Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des achsensymmetrischen Graphen der in R\mathbb{R} definierten Funktion ff mit f(x)=120x425x2+1f(x)=\frac{1}{20} x^{4}-\frac{2}{5} x^{2}+1 beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von ff dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die xx-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

    1. Bestimmen Sie rechnerisch die Höhe und die Länge der Brücke. [[zur Kontrolle: Ein Tiefpunkt des Graphen von ff hat die xx-Koordinate 22]] (5 P)

    2. Betrachtet wird derjenige Punkt der oberen Randlinie, der sich am Übergang vom mittleren zum rechten Bauteil befindet.

      Prüfen Sie, ob dieser Punkt auf halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und deren rechtem Endpunkt liegt. (3 P)

    3. Bestimmen Sie die größte Steigung der Brücke, die beim Überfahren zu überwinden ist. (2 P)

    4. Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in R\mathbb{R} definierten Funktion qaq_{a} mit qa(x)=0,8ax2q_{a}(x)=0{,}8-a \cdot x^{2} und aR,a>0a \in \mathbb{R}, a>0, beschrieben werden.

      In der Abbildung ist die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils mit ss bezeichnet. Bestimmen Sie alle Werte von aa, die für diese Länge mindestens 0,1 dm0{,}1 \mathrm{~dm} liefern. (4 P)

    5. Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass für die Beschreibung der unteren Randlinie beliebig große Werte von aa nicht infrage kommen. (2 P)

    6. Für die Brücke gilt a=1,25a=1{,}25. Die drei Bauteile der Brücke werden aus massivem Holz hergestellt; 1 dm31 \mathrm{~dm}^{3} des Holzes hat eine Masse von 800800 Gramm. Die Brücke ist 0,4 dm0{,}4 \mathrm{~dm} breit.

      Ermitteln Sie die Masse des mittleren Bauteils. (5 P)

    7. Während der Planung der Brückenform kamen zur Beschreibung der oberen Randlinie für das linke Bauteil eine Funktion glg_{l} und für das rechte Bauteil eine Funktion grg_{r} infrage. Auch bei der Verwendung dieser Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen.

      Entscheiden Sie jeweils begründet, welche der folgenden Eigenschaften auf die Funktionen glg_{l} und grg_{r} zutreffen.

      (1) gl(x)=gr(x)\quad-g_{l}(x)=g_{r}(-x) für 2x1-2 \leq x \leq-1

      (2) gl(x1)=gr(x+1)\quad g_{l}(x-1)=g_{r}(-x+1) für 1x0-1 \leq x \leq 0

      (4 P)


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