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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Die Abbildung 1 zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.
Abbildung 1
Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des achsensymmetrischen Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{20} x^{4}-\frac{2}{5} x^{2}+1$ beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x$ -Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.
1. Bestimmen Sie rechnerisch die Höhe und die Länge der Brücke. $[$ zur Kontrolle: Ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ hat die $x$ -Koordinate $2$ $]$ (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Bestimme rechnerisch die Höhe und die Länge der Brücke
  Höhe
  Die Höhe der Brücke entspricht dem y-Achsenabschnitt von $f$ .
  $\Rightarrow\;f(0)=1$
  Die Höhe der Brücke beträgt $1\mathrm{~dm}$ .
  Länge
  Berechne die Koordinaten des Tiefpunktes:
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
  Berechne $f^{'} (x)$ :
  $f'(x=\dfrac{4}{20} x^{3}-\dfrac{4}{5} x=\dfrac{1}{5}\cdot x \cdot\left(x^2-4\right)$
  $f'(x)=0\;\Rightarrow\;0=\dfrac{1}{5}\cdot x \cdot\left(x^2-4\right)$
  Es folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
  $x=0\vee x=\pm 2$
  An den Stellen $x = - 2, x = 0$ und $x = 2$ liegen Extremstellen vor.
  Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f''(x)\neq 0$ .
  Berechne $f^{''} (x)$ :
  $f''(x)=\dfrac{3}{5} x^{2}-\dfrac{4}{5}$
  Setze die berechneten Extremstellen ein:
  $f''(0)=-\dfrac{4}{5}<0\;\Rightarrow\; HP$
  $f''(-2)=\dfrac{3}{5} (-2)^{2}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{5}>0\;\Rightarrow\;TP$
  $f''(2)=\dfrac{3}{5} 2^{2}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{5}>0\;\Rightarrow\;TP$
  An den Stellen $x = - 2$ bzw. $x = 2$ liegen die Tiefpunkte des Graphen von $f$ .
  $\Rightarrow\;$ Länge der Brücke entspricht dem Abstand der x-Koordinaten der beiden Tiefpunkte $l = 2 - (- 2) = 4$
  Die Länge der Brücke beträgt $4\mathrm{~dm}$ .
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  Teil 1
  Die Höhe der Brücke entspricht dem y-Achsenabschnitt von $f$ .
  Teil 2
  Berechne die Koordinaten des Tiefpunktes.
2. Betrachtet wird derjenige Punkt der oberen Randlinie, der sich am Übergang vom mittleren zum rechten Bauteil befindet.
  Prüfen Sie, ob dieser Punkt auf halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und deren rechtem Endpunkt liegt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Prüfe, ob dieser Punkt auf halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und deren rechtem Endpunkt liegt
  Höchster Punkt der oberen Randlinie:
  Berechne $f(1)=\dfrac{1}{20} 1^{4}-\dfrac{2}{5} 1^{2}+1=\dfrac{1}{20}-\dfrac{2}{5}+1=\dfrac{13}{20}=0{,}65$ .
  Rechter Endpunkt:
  Berechne $f(2)=\dfrac{1}{20} 2^{4}-\dfrac{2}{5} 2^{2}+1=\dfrac{16}{20}-\dfrac{8}{5}+1=\dfrac{1}{5}=0{,}2$ .
  Die Mitte zwischen den beiden Punkten ist $\frac{1}{2}\left(f(0)+f(2)\right)=\frac{1}{2}\left(1+0{,}2\right)=0{,}6$ .
  Da $f(1)=0{,}65\neq 0{,}6$ ist, liegt dieser Punkt nicht auf halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und deren rechtem Endpunkt.
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  Höchster Punkt der oberen Randlinie: Berechne $f (1)$ .
  Rechter Endpunkt: Berechne $f (2)$ .
  Die Mitte zwischen den beiden Punkten ist $\frac{1}{2}\left(f(0)+f(2)\right)$ .
  Vergleiche $\frac{1}{2}\left(f(0)+f(2)\right)$ mit $f (1)$ .
3. Bestimmen Sie die größte Steigung der Brücke, die beim Überfahren zu überwinden ist. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Bestimme die größte Steigung der Brücke, die beim Überfahren zu überwinden ist
  Die 1. Ableitung muss maximal werden:
  $f'(x=\dfrac{1}{5} x^{3}-\dfrac{4}{5} x$
  Lasse Dir den Graphen von $f^{'} (x)$ anzeigen und bestimme das Maximum:
  Man erhält $x_M\approx-1{,}1547...$ und $y_M\approx0{,}61584...\;\Rightarrow\;HP(-1{,}155\mid 0{,}616)$
  Die größte Steigung der Brücke, die beim Überfahren zu überwinden ist, ist $f'(1{,}155)\approx 0{,}616$ .
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  Die 1. Ableitung muss maximal werden. Berechne $f^{'} (x)$ .
  Lasse Dir den Graphen von $f^{'} (x)$ anzeigen und bestimme das Maximum.
  Der y-Wert des Hochpunktes ist die gesuchte Steigung.
4. Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q_{a}$ mit $q_{a}(x)=0{,}8-a \cdot x^{2}$ und $a \in \mathbb{R}, a>0$ , beschrieben werden.
  In der Abbildung ist die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils mit $s$ bezeichnet. Bestimmen Sie alle Werte von $a$ , die für diese Länge mindestens $0{,}1 \mathrm{~dm}$ liefern. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Bestimme alle Werte von $a$ , die für diese Länge mindestens $0{,}1 \mathrm{~dm}$ liefern
  Wenn $s = 0,1$ ist, dann muss $x = - 1 + 0,1 = - 0,9$ sein.
  Berechne für $x = - 0,9$ die Nullstelle von $q_{a}(x)=0{,}8-a \cdot x^{2}$ .
  $\Rightarrow\;0=0{,}8-a \cdot (-0{,}9)^{2}\;\Rightarrow\;0=0{,}8-0{,}81\cdot a\;\Rightarrow\;a=\dfrac{0{,}8}{0{,}81}=\dfrac{80}{81}\approx0{,}988$
  Der Graph von $q_{a}$ ist für $a > 0$ eine nach unten geöffnete Parabel.
  Wird $a$ größer, wird die Parabel in y-Richtung gestreckt, d.h. der Abstand zwischen den Nullstellen wird kleiner. Dies hat zur Folge, dass $s$ größer wird.
  Somit ist für $a\geq 0{,}988$ die Länge $s$ mindestens $0{,}1 \mathrm{~dm}$ lang.
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  Wenn $s = 0,1$ ist, dann muss $x = - 1 + 0,1 = - 0,9$ sein.
  Berechne für $x = - 0,9$ die Nullstelle von $q_{a}(x)=0{,}8-a \cdot x^{2}$ und löse nach a auf.
5. Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass für die Beschreibung der unteren Randlinie beliebig große Werte von $a$ nicht infrage kommen. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einfluss der Parameter in der Scheitelform
  Begründe im Sachzusammenhang, dass für die Beschreibung der unteren Randlinie beliebig große Werte von $a$ nicht infrage kommen
  Je größer $a$ wird, umso kleiner wird die Breite der Durchfahrt für die Züge (der Graph von $q_{a}$ wird schmaler).
  Die Öffnungsbreite muss größer als die Breite des Zuges sein.
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  Was passiert, wenn $a$ größer wird.
  Kann der Zug dann noch durch die Brücke fahren?
6. Für die Brücke gilt $a = 1,25$ . Die drei Bauteile der Brücke werden aus massivem Holz hergestellt; $1 \mathrm{~dm}^{3}$ des Holzes hat eine Masse von $800$ Gramm. Die Brücke ist $0{,}4 \mathrm{~dm}$ breit.
  Ermitteln Sie die Masse des mittleren Bauteils. (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Ermittle die Masse des mittleren Bauteils
  Bekannt sind: Für die Brücke gilt $a = 1,25$ . Die drei Bauteile der Brücke werden aus massivem Holz hergestellt; $1 \mathrm{~dm}^{3}$ des Holzes hat eine Masse von $800$ Gramm. Die Brücke ist $0{,}4 \mathrm{~dm}$ breit.
  $q_{1{,}25}(x)=0{,}8-1{,}25 \cdot x^{2}$
  Berechne die Nullstellen von $q_{a}$ :
  $0=0{,}8-1{,}25 \cdot x^{2}\;\Rightarrow\;x^2=\dfrac{0{,}8}{1{,}25}=0{,}64\;\Rightarrow\;x=\pm 0{,}8$ .
  Nun kann der Flächeninhalt des mittleren Bauteils berechnet werden. (Beachte, dass das Flächenstück symmetrisch zur y-Achse ist.):
  $A=2\cdot \left(\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\;\mathrm{d}x-\displaystyle\int_{-0{,}8}^0 q_{1{,}25}(x)\;\mathrm{d}x\right)$
  Der Flächeninhalt des mittleren Bauteils beträgt $A=0{,}9\mathrm{~dm}^{2}$ .
  Da die Brücke $0{,}4 \mathrm{~dm}$ breit ist, berechnet man das Volumen mit: $V=A\cdot 0{,}4=0{,}9\cdot 0{,}4=0{,}36$
  Das Volumen beträgt $0{,}36\mathrm{~dm}^{3}$ .
  $1 \mathrm{~dm}^{3}$ des Holzes hat eine Masse von $800$ Gramm.
  Die Masse des mittleren Bauteils ist dann $m=V\cdot 800=0{,}36\cdot 800=288$ .
  Die Masse des mittleren Bauteils beträgt $m=288\mathrm{~g}$ .
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  Es ist $q_{1{,}25}(x)=0{,}8-1{,}25 \cdot x^{2}$ .
  Berechne die Nullstellen von $q_{a}$ $\;\Rightarrow\;x_1, x_2$ . ( $x_{1}$ ist die linke Nullstelle.)
  Der Flächeninhalt des mittleren Bauteils berechnet man mit $A=2\cdot \left(\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\;\mathrm{d}x-\displaystyle\int_{x_1}^0 q_{1{,}25}(x)\;\mathrm{d}x\right)$ (Beachte dabei, dass das Flächenstück symmetrisch zur y-Achse ist.) $\;\Rightarrow\;A$ in $\mathrm{dm}^2$ .
  Da die Brücke $0{,}4 \mathrm{~dm}$ breit ist, berechnet man das Volumen mit $V=A\cdot 0{,}4$ .
  Die Masse des mittleren Bauteils in Gramm berechnet man mit $m=V\cdot 800$ .
7. Während der Planung der Brückenform kamen zur Beschreibung der oberen Randlinie für das linke Bauteil eine Funktion $g_{l}$ und für das rechte Bauteil eine Funktion $g_{r}$ infrage. Auch bei der Verwendung dieser Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen.
  Entscheiden Sie jeweils begründet, welche der folgenden Eigenschaften auf die Funktionen $g_{l}$ und $g_{r}$ zutreffen.
  (1) $\quad-g_{l}(x)=g_{r}(-x)$ für $-2 \leq x \leq-1$
  (2) $\quad g_{l}(x-1)=g_{r}(-x+1)$ für $-1 \leq x \leq 0$
  (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punktsymmetrie
  Entscheide jeweils begründet, welche der folgenden Eigenschaften auf die Funktionen $g_{l}$ und $g_{r}$ zutreffen
  (1) $\quad-g_{l}(x)=g_{r}(-x)$ für $-2 \leq x \leq-1$
  Die Gleichung besagt, dass die Graphen der Funktionen $g_{l}$ und $g_{r}$ punktsymmetrisch zum Ursprung in den Intervallen $[- 2; - 1]$ und $[1; 2]$ sind.
  Da die Graphen aber nicht punktsymmetrisch sind, ist die Aussage nicht richtig.
  (2) $\quad g_{l}(x-1)=g_{r}(-x+1)$ für $-1 \leq x \leq 0$
  Die Gleichung besagt, dass die Graphen der Funktionen $g_{l}$ und $g_{r}$ achsensymmetrisch zur y-Achse in den Intervallen $[- 2; - 1]$ und $[1; 2]$ sind.
  Das entspricht den Gegebenheiten. Die Aussage ist richtig.
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  (1) Die Gleichung besagt, dass die Graphen der Funktionen $g_{l}$ und $g_{r}$ punktsymmetrisch zum Ursprung sind.
  (2) Die Gleichung besagt, dass die Graphen der Funktionen $g_{l}$ und $g_{r}$ achsensymmetrisch zur y-Achse sind.
  Welche der beiden Aussagen trifft zu?

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Aufgabe 1

Bestimme rechnerisch die Höhe und die Länge der Brücke

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Prüfe, ob dieser Punkt auf halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und deren rechtem Endpunkt liegt

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Bestimme die größte Steigung der Brücke, die beim Überfahren zu überwinden ist

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Bestimme alle Werte von aaa, die für diese Länge mindestens 0,1 dm0{,}1 \mathrm{~dm}0,1 dm liefern

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Begründe im Sachzusammenhang, dass für die Beschreibung der unteren Randlinie beliebig große Werte von aaa nicht infrage kommen

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Ermittle die Masse des mittleren Bauteils

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Entscheide jeweils begründet, welche der folgenden Eigenschaften auf die Funktionen glg_{l}gl​ und grg_{r}gr​ zutreffen

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Bestimme alle Werte von $a$ , die für diese Länge mindestens $0{,}1 \mathrm{~dm}$ liefern

Begründe im Sachzusammenhang, dass für die Beschreibung der unteren Randlinie beliebig große Werte von $a$ nicht infrage kommen

Entscheide jeweils begründet, welche der folgenden Eigenschaften auf die Funktionen $g_{l}$ und $g_{r}$ zutreffen