Berechne den geheimen Code

Bekannt sind: Eine Geschäftsführerin kennt $(\mathrm{1,5}\mathrm{\mid }\mathrm{3,5}\mathrm{\mid }\mathrm{6,5})(1\{,\}5|3\{,\}5|6\{,\}5)$ als Koordinaten der Spitze der Pyramide. Die Koordinaten von jeweils einem Eckpunkt der Grundfläche sind $(1\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }3),(1|1|3),$

$(1\mathrm{\mid }6\mathrm{\mid }3)(1|6|3)$ und ⁣$(5\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }6)(5|1|6)$. Die quadratische Grundfläche der Pyramide liegt in der dem System bekannten Ebene $Q:-3x_1+4x_3=9Q:-3\; x\_\{1\}+4\; x\_\{3\}=9$.

Gesucht ist das Volumen einer quadratischen Pyramide $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot hV=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; G\backslash cdot\; h$.

Berechne die Länge einer Quadratseite:

Mit $A(1\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }3)A(1|1|\; 3)$ und $B(1\mathrm{\mid }6\mathrm{\mid }3)B(1|6|3)$ erhält man $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=5\backslash overrightarrow\{AB\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 6\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 1\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 5\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;|\backslash overrightarrow\{AB\}|=5$

Für die Höhe berechne den Abstand der Spitze $S(\mathrm{1,5}\mathrm{\mid }\mathrm{3,5}\mathrm{\mid }\mathrm{6,5})S(1\{,\}5|3\{,\}5|\; 6\{,\}5)$ von der Ebene $QQ$:

Die Hessesche Normalform der Ebene $QQ$ lautet: $Q_{HNF}:{\displaystyle \frac{-3x_1+4x_3-9}{\sqrt{(-3{)}^2+4^2}}}=0Q\_\{HNF\}:\; \backslash ;\backslash dfrac\{-3x\_1+4x\_3-9\}\{\backslash sqrt\{(-3)^2+4^2\}\}=0$

Für den Abstand des Punktes $SS$ von der Ebene $QQ$ gilt dann:

$d(S,Q)=\mid {\displaystyle \frac{(-3)\cdot \mathrm{1,5}+4\cdot \mathrm{6,5}-9}{\sqrt{(-3{)}^2+4^2}}}\mid ={\displaystyle \frac{\mathrm{12,5}}{5}}=\mathrm{2,5}d(S,Q)=\backslash left|\backslash dfrac\{(-3)\backslash cdot\; 1\{,\}5+4\backslash cdot\; 6\{,\}5-9\}\{\backslash sqrt\{(-3)^2+4^2\}\}\backslash right|=\backslash dfrac\{12\{,\}5\}\{5\}=2\{,\}5$

Berechne das Pyramidenvolumen: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 5^2\cdot \mathrm{2,5}\approx \mathrm{20,83}V=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; G\backslash cdot\; h=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; 5^2\backslash cdot\; 2\{,\}5\backslash approx20\{,\}83$

Damit lautet der gesuchte Code $208208$.