Kegelvolumen

Das Volumen eines Kegels berechnet sich nach folgender Formel. Dabei bezeichnet $GG$ die Grundfläche des Kegels und $hh$ seine Höhe.

$V_{\text{Kegel}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot hV\_\backslash text\{Kegel\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; G\; \backslash cdot\; h$

Die Grundfläche des Kegels ist ein Kreis mit Radius $rr$, dessen Fläche $AA$ berechnet wird mit der Formel

$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot r^{2}A\_\backslash text\{Kreis\}=\backslash pi\backslash cdot\; r^2$

Mit diesen Angaben ergibt sich für das Volumen der Schultüte

$V_{\text{Schult}\ddot{\text{u}}\text{te}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot r^2\cdot hV\_\backslash text\{Schultüte\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; r^2\backslash cdot\; h$

Werte einsetzen

$V_{\text{Schult}\ddot{\text{u}}\text{te}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot {12}^2\cdot 75V\_\backslash text\{Schultüte\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 12^2\; \backslash cdot\; 75$

$V_{\text{Schult}\ddot{\text{u}}\text{te}}\approx 11\mathrm{309,73}V\_\backslash text\{Schultüte\}\backslash approx\; 11\backslash ,309\{,\}73$

Das Volumen der Schultüte beträgt $11\mathrm{309,73}{\text{ cm}}^{3}11\backslash ,309\{,\}73\backslash cm^3$.

Die obere Öffnung der Schultüte bildet einen Kreis.

Kreisumfang

$U=2\cdot \pi \cdot rU=2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; r$

Werte einsetzen

$U=2\cdot \pi \cdot 12\approx \mathrm{75,4}U=2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 12\backslash approx\; 75\{,\}4$

Vergleich

Der Kreisumfang ist kleiner als die Länge des Bandes. Das Band ist lang genug.

Es soll der Winkel $\alpha \backslash alpha$ in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet werden.

Gegeben sind:

Gegenkathete $\text{GK}=r=12\text{ cm}\backslash text\{GK\}=r=12\backslash cm$

Ankathete $\text{AK}=h_k=75\text{ cm}\backslash text\{AK\}=h\_k=75\backslash cm$

Der Winkel $\alpha \backslash alpha$ beträgt dann

$\arctan ({\displaystyle \frac{\text{GK}}{\text{AK}}})=\arctan ({\displaystyle \frac{12}{75}})={\mathrm{9,09}}^{\circ }\backslash arctan(\backslash dfrac\{\backslash text\{GK\}\}\{\backslash text\{AK\}\})=\backslash arctan(\backslash dfrac\{12\}\{75\})=9\{,\}09^\backslash circ$

Der Winkel $\alpha \backslash alpha$ hat ${\mathrm{9,09}}^{\circ }9\{,\}09^\backslash circ$.

Verringert man die Höhe der Schultüte, wird ihre Öffnung größer und der Winkel $\alpha \backslash alpha$ vergrößert sich.

Die zweite Aussage ist korrekt.