Berechnen des Umfangs des oberen Kranzes.

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreises lautet:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=\mathrm{d}\cdot \pi \backslash mathrm\{U\_\{Kreis\}=d\backslash cdot\backslash pi\}$

Einsetzen der bekannten Größe.

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{z}}=\mathrm{2,40}\cdot \pi \backslash mathrm\{U\_\{Kranz\}=2\{,\}40\backslash cdot\backslash pi\}$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{z}}=\mathrm{7,54}\text{ m}\backslash mathrm\{U\_\{Kranz\}=7\{,\}54\backslash m\}$

Der Umfang des oberen Kranzes beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{7,54}\text{ m}}}\backslash \; \backslash boxed\{7\{,\}54\backslash m\}$.

Berechnen von ${\mathrm{h}}_{\mathrm{a}}\backslash mathrm\{h\_a\}$.

Die Höhe ${\mathbf{\text{h}}}_{\mathbf{\text{a}}}\backslash textbf\{h\}\_\backslash textbf\{a\}$ bildet mit dem Radius ${\mathbf{\text{r}}}_{\mathbf{\text{a}}}\backslash textbf\{r\}\_\backslash textbf\{a\}$ und der Seillänge $\mathbf{\text{a}}\backslash textbf\{a\}$ ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Seillänge $\mathbf{\text{a}}\backslash textbf\{a\}$ die Hypotenuse dieses Dreiecks ist.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\backslash mathrm\{c^2=a^2+b^2\}$

Der Satz des Pythagoras, angewandt auf unsere Dreieck:

${\mathrm{a}}^2=({\mathrm{r}}_{\mathrm{a}}{)}^2+({\mathrm{h}}_{\mathrm{a}}{)}^2\backslash mathrm\{a^2=(r\_a)^2+(h\_a)^2\}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{a}=2\text{ m}{\mathrm{r}}_{\mathrm{a}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,40}}{2}}=\mathrm{1,2}\text{ m}\backslash mathrm\{a=2\backslash m\backslash qquad\; r\_a=\backslash dfrac\{2\{,\}40\}\{2\}=1\{,\}2\backslash m\}$

Die Höhe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{a}}\backslash mathrm\{h\_a\}$ beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{1,60}\text{ m}}}\backslash \; \backslash boxed\{1\{,\}60\backslash m\}$.

Berechnen der Größe des Winkels $\text{α}\backslash text\{\alpha \}$.

Die Definition des Kosinus im rechtwinkligem Dreieck lautet:

$\cos (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}\backslash mathrm\{\backslash cos(\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{\{Ankathete\}\}\{\{Hypotenuse\}\}\}$

Angewandt auf unser Dreieck:

$\cos (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{1,2}}{2}}\backslash cos\; (\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{1\{,\}2\}\{2\}$

$\cos (\alpha )=\mathrm{0,6}\Rightarrow \alpha ={\mathrm{53,13}}^{\circ }\backslash cos\; (\backslash alpha\; )=0\{,\}6\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; \backslash alpha=53\{,\}13^\backslash circ$

Der Winkel $\alpha \backslash alpha$ beträgt: $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{53,13}}^{\circ }}}\backslash boxed\{53\{,\}13^\backslash circ\}$.

Bestimmen der Größe des Winkels δ.

Die Definition des Sinus im rechtwinkligem Dreieck lautet:

$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}\backslash mathrm\{\backslash sin(\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{\{Gegenkathete\}\}\{\{Hypotenuse\}\}\}$

Angewandt auf unser Dreieck:

$\sin (\delta )={\displaystyle \frac{\mathrm{1,2}}{2}}\backslash sin(\backslash delta\; )=\backslash dfrac\{1\{,\}2\}\{2\}$

$\sin (\delta )=\mathrm{0,6}\Rightarrow \delta ={\mathrm{36,87}}^{\circ }\backslash sin\; (\backslash delta\; )=0\{,\}6\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; \backslash delta=36\{,\}87^\backslash circ$

Der Winkel $\delta \backslash delta$ beträgt: $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{36,87}}^{\circ }}}\backslash boxed\{36\{,\}87^\backslash circ\}$.

Berechnen der Seillänge $\text{b}\backslash text\{b\}$ des unteren Kranzes.

Die Seillänge $\mathbf{\text{b}}\backslash textbf\{b\}$ bildet mit dem Radius ${\mathbf{\text{r}}}_{\mathbf{\text{b}}}\backslash textbf\{r\}\_\backslash textbf\{b\}$ und der Höhe $\mathrm{0,70}\text{ m}0\{,\}70\backslash m$ ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Seillänge $\mathbf{\text{b}}\backslash textbf\{b\}$ die Hypotenuse dieses Dreiecks ist.

Die Definition des Sinus im rechtwinkligem Dreieck lautet:

$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}\backslash mathrm\{\backslash sin(\backslash alpha)=\backslash dfrac\{\{Gegenkathete\}\}\{\{Hypotenuse\}\}\}$

Angewandt auf unser Dreieck:

$\sin ({16}^{\circ })={\displaystyle \frac{\mathrm{0,70}}{\mathrm{b}}}\Rightarrow \mathrm{b}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,70}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({16}^{\circ })}}\backslash mathrm\{\backslash sin(16^\backslash circ)=\backslash dfrac\{0\{,\}70\}\{b\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; b=\backslash dfrac\{0\{,\}70\}\{sin(16^\backslash circ)\}\}$

$\mathrm{b}=\mathrm{2,54}\backslash mathrm\{b=2\{,\}54\}$

Die Seillänge $\mathbf{\text{b}}\backslash textbf\{b\}$ beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{2,54}\text{ m}}}\backslash \; \backslash boxed\{2\{,\}54\backslash m\}$.

Begründen, dass die obige Aussage wahr ist.

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreise lautet:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=\mathrm{d}\cdot \pi \backslash large\{\backslash mathrm\{U\_\{Kreis\}=d\backslash cdot\backslash pi\}\}$

Verdreifachen des Durchmessers:

$\mathrm{n}\cdot {\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=3\cdot \mathrm{d}\cdot \pi \backslash mathrm\{n\backslash cdot\; U\_\{Kreis\}=3\backslash cdot\; d\backslash cdot\backslash pi\}$

Ersetzen von ${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}\backslash mathrm\{U\_\{Kreis\}\}$ durch ($\mathrm{d}\cdot \pi \backslash mathrm\{d\backslash cdot\backslash pi\}$)

$\mathrm{n}\cdot \mathrm{d}\cdot \pi =3\cdot \mathrm{d}\cdot \pi \backslash mathrm\{n\backslash cdot\; d\backslash cdot\backslash pi=3\backslash cdot\; d\backslash cdot\backslash pi\}$

$\mathrm{n}={\displaystyle \frac{3\cdot \mathrm{d}\cdot \pi }{\mathrm{d}\cdot \pi }}\Rightarrow \mathrm{n}=3\backslash mathrm\{n=\backslash dfrac\{3\backslash cdot\; d\backslash cdot\backslash pi\}\{d\backslash cdot\backslash pi\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; n=3\}$

Dann ist:

$3\cdot {\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=3\cdot \mathrm{d}\cdot \pi \backslash mathrm\{\backslash textcolor\{blue\}3\backslash cdot\; U\_\{Kreis\}=\backslash textcolor\{blue\}3\backslash cdot\; d\backslash cdot\backslash pi\}$

Die Aussage ist also wahr.