Die Skizze zeigt ein rechtwinkliges Dreieck.

$h^2+{\mathrm{5,53}}^2={\mathrm{5,57}}^{2}h^2+5\{,\}53^2=5\{,\}57^2$

$h^2={\mathrm{5,57}}^2-{\mathrm{5,53}}^2=\mathrm{0,444}h^2=5\{,\}57^2-5\{,\}53^2=0\{,\}444$

$h\approx \pm \mathrm{0,66633}h\backslash approx\backslash pm\; 0\{,\}66633$

Nur der positive Wert ergibt hier ein sinnvolles Ergebnis.

Der Höhenunterschied $hh$ beträgt $\mathrm{0,67}\text{ km}0\{,\}67\backslash km$.

Der Winkel $\alpha \backslash alpha$ kann mithilfe der Sinus Winkelfunktion berechnet werden.

$\sin \left(\alpha \right)={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}\backslash sin\backslash left(\backslash alpha\backslash right)=\backslash dfrac\{\backslash text\{Gegenkathete\}\}\{\backslash text\{Hypotenuse\}\}$

$\sin \left(\alpha \right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,66633}}{\mathrm{5,57}}}=\mathrm{0,1196}\backslash sin\backslash left(\backslash alpha\backslash right)=\backslash dfrac\{0\{,\}66633\}\{5\{,\}57\}=0\{,\}1196$

$\alpha \approx {\mathrm{6,87}}^{\circ }\backslash alpha\backslash approx\; 6\{,\}87^\backslash circ$

Steigungswinkel der Bergbahn "Rosi"

$\tan \left(\alpha \right)={\displaystyle \frac{9}{100}}={\mathrm{5,14}}^{\circ }\backslash tan\backslash left(\backslash alpha\backslash right)=\backslash dfrac\{9\}\{100\}=5\{,\}14^\backslash circ$

Vergleich der Steigungswinkel

${\mathrm{5,14}}^{\circ }<{\mathrm{6,87}}^{\circ }5\{,\}14^\backslash circ\backslash lt\; 6\{,\}87^\backslash circ$

Die Bergbahn "Waldi" hat die größere Steigung.

Bei einem Steigungswinkel von ${45}^{\circ }45^\backslash circ$ beträgt die Steigung $100\mathrm{\%}100\backslash \%$.

$\arctan \left({\displaystyle \frac{100}{100}}\right)={45}^{\circ }\backslash arctan\backslash left(\backslash dfrac\{100\}\{100\}\backslash right)=45^\backslash circ$

Der Steigungswinkel kann aber auch größer sein.

Dannys Behauptung ist falsch.

Größe des Neigungswinkels $\alpha \backslash alpha$ bei einem Höhenunterschied von $u=217\text{ mm}u=217\backslash mm$.

$\sin \left(\alpha \right)={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}\backslash sin\backslash left(\backslash alpha\backslash right)=\backslash dfrac\{\backslash text\{Gegenkathete\}\}\{\backslash text\{Hypotenuse\}\}$

$\sin \left(\alpha \right)={\displaystyle \frac{217}{1435}}\approx {\mathrm{8,70}}^{\circ }\backslash sin\backslash left(\backslash alpha\backslash right)=\backslash dfrac\{217\}\{1435\}\backslash approx\; 8\{,\}70^\backslash circ$

Vergleich mit den Neigungswinkeln der gegebenen Tabelle

${\mathrm{8,7}}^{\circ }>{\mathrm{8,6}}^{\circ }8\{,\}7^\backslash circ\; \backslash gt\; 8\{,\}6^\backslash circ$

Der Zug kann mit $90{\displaystyle \frac{\text{km}}{\text{h}}}90\backslash dfrac\{\backslash text\{km\}\}\{\backslash text\{h\}\}$ durch die Kurve fahren.