Wahlteil

Oberfläche einer Kugel

$O_{\text{Kugel}}=4\cdot r^2\cdot \pi$

Werte einsetzen

$O_{\text{Kugel}}=4\cdot {\mathrm{13,5}}^2\cdot \pi$

$O_{\text{Kugel}}\approx 2\mathrm{290,22}$

Die Oberfläche der Kugel hat $2\mathrm{290,22}{\text{ m}}^2$.

Der Ring bildet einen Kreis, dessen Umfang $U=90$ bekannt ist.

Radius des Rings

$U=2\cdot \pi \cdot r$

$90=2\cdot \pi \cdot r$

$r={\displaystyle \frac{90}{2\cdot \pi }}$

$r\approx \mathrm{14,32}$

Abstand zwischen Ring und Gasspeicher

$\text{Abstand}=\text{Radius Ring}-\text{Radius Gasspeicher}$

$\text{Abstand}=\mathrm{14,32}-\mathrm{13,5}=\mathrm{0,82}$

Der Abstand zwischen dem Gasspeicher und dem Ring beträgt $\mathrm{0,82}\text{ m}$.

Der Kran bildet mit der Wand des Gasspeichers einen rechten Winkel.

Bekannt sind

• die Hypotenuse $c=22$

• eine Kathete $a=20$

Gesucht ist die Länge der zweiten Kathete $x$.

Satz des Pythagoras

$c^2=a^2+x^2$

Werte einsetzen

${22}^2={20}^2+b^2$

$484=400+x$

$84=x^2$

$x\approx \pm \mathrm{9,17}$

Nur der positive Wert ist in diesem Fall sinnvoll.

Die Länge $x$ beträgt $\mathrm{9,17}\text{ m}$.

Radius des Hohlraums

$r_{\text{Hohlraum}}=\mathrm{13,5}-\mathrm{0,03}=\mathrm{13,47}$

Volumen des Hohlraums

$V_{\text{Hohlraum}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot r^3\cdot \pi$

Werte einsetzen

$V_{\text{Hohlraum}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\mathrm{13,47}}^3\cdot \pi$

$V_{\text{Hohlraum}}=10\mathrm{237,44}$

Das Volumen des Hohlraums beträgt $10\mathrm{237,44}{\text{ m}}^3.$

Volumen des kleineren Gasspeichers r

$V_{\text{kleiner Gasspeicher}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot r^3\cdot \pi$

Volumen des größeren Gasspeichers

Der Radius des kleineren Gasspeichers ist $r$. Da der größere Gasspeicher einen doppelt so großen Durchmesser hat, ist auch sein Radius doppelt so groß.

Er beträgt $2\cdot r$

$V_{\text{großer Gasspeicher}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {(2\cdot r)}^3\cdot \pi$

$V_{\text{großer Gasspeicher}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot 8\cdot r^3\cdot \pi$

$V_{\text{großer Gasspeicher}}=8\cdot ({\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot r^3\cdot \pi )$

$V_{\text{großer Gasspeicher}}=8\cdot V_{\text{kleiner Gasspeicher}}$

Das Wasser hat am Anfang eine Temperatur von $20$ °C.

Jede Minute steigt die Temperatur um $15$ °C. Innerhalb von $3$ Minuten steigt die Temperatur des Wassers also um $3\cdot 15$ °C $=45$ °C.

Nach $3$ Minuten hat das Wasser eine Temperatur von $20$ °C $+45$ °C $=65$ °C.

Um die Funktion aufzustellen, muss man zuerst wissen, welche Variable wofür steht:

Jetzt kann man also für $b$ und $m$ die Werte aus der Aufgabe einsetzen und erhält die Funktion:

$y=15$ °C/min $\cdot x+20$ °C

Innerhalb einer Stunde fällt die Wassertemperatur um $15\%$, sie wird also auf $85\%$ $(=100\%-15\%)$ ihres vorherigen Wertes reduziert.

Um die Wassertemperatur eine Stunde später zu berechnen, multipliziert man die jetzige Temperatur mit $\mathrm{0,85}$.

Um die Wassertemperatur um 16 Uhr zu berechnen, multipliziert man die Temperatur um 15 Uhr mit $\mathrm{0,85}$:

$\mathrm{49,1}$ °C $\cdot \mathrm{0,85}\approx \mathrm{41,74}$ °C

Trägt man die Werte in das Koordinatensystem und verbindet sie, so erhält man folgenden Graphen:

Mithilfe des Graphen kann man jetzt den Lückentext ausfüllen:

Um 12:45 Uhr beträgt die Temperatur ${\underline{71}}^{\circ }\text{C}$.

Um $\underline{15:30}$ Uhr ist die Temperatur um ${35}^{\circ }\mathrm{C}$ gefallen.

Die Zuordnung ist nicht linear, da ihr Graph keine Gerade ist. Also ist sie auch nicht proportional, weil proportionale Funktionen auch linear sind.

Die Zuordnung beschreibt einen exponentiellen Zerfall, da der Wert immer um denselben Faktor, in diesem Fall $15\%$, sinkt.

Ausgehend von einem Knoten muss die Summe der mit diesem Knoten verknüpften Ereignisse $1$ ergeben.

1. Knoten oben: $1-({\displaystyle \frac{10}{20}}+{\displaystyle \frac{4}{20}})={\displaystyle \frac{6}{20}}$

2. Knoten links: $1-({\displaystyle \frac{4}{19}}+{\displaystyle \frac{6}{19}})={\displaystyle \frac{9}{19}}$

Es soll die Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Versuchsausgang berechnet werden.

Dazu wird die erste Pfadregel (Produktregel) verwendet.

$P(K,A)={\displaystyle \frac{10}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{19}}={\displaystyle \frac{60}{380}}$

Folgende Ereignisse sind bei zweimaligem Ziehen möglich, wenn kein Erdbeertee gezogen wird:

Erste Möglichkeit

Im ersten Zug Kamillentee und im zweiten Zug Kamillentee oder Apfeltee.

Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt:

$P(K,KoderA)={\displaystyle \frac{10}{20}}\cdot (1-{\displaystyle \frac{4}{19}})={\displaystyle \frac{10}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{15}{19}}={\displaystyle \frac{150}{380}}$

Zweite Möglichkeit

Im ersten Zug Apfeltee und im zweiten Zug Kamillentee oder Apfeltee.

Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt:

$P(A,KoderA)={\displaystyle \frac{6}{20}}\cdot (1-{\displaystyle \frac{4}{19}})={\displaystyle \frac{6}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{15}{19}}={\displaystyle \frac{90}{380}}$

Wahrscheinlichkeit kein Erdbeertee

$P\left(keinenErbeertee\right)=P(K,KoderA)+P(A,KoderA)$

$P\left(keinenErbeertee\right)={\displaystyle \frac{150}{380}}+{\displaystyle \frac{90}{380}}={\displaystyle \frac{240}{380}}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Pia keinen Erdbeertee zieht, beträgt ${\displaystyle \frac{240}{380}}={\displaystyle \frac{12}{19}}$.

Die Wahrscheinlichkeit zweimal hintereinander Erdbeertee zu ziehen beträgt

$P\left(zweimalhintereinanderErbeertee\right)={\displaystyle \frac{4}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{19}}$

Die Gegenwahrscheinlichkeit, nicht zweimal hintereinander Erdbeertee zu ziehen, beträgt

$\begin{array}{l}P\left(nichtzweimalErdbeertee\right)\\ =1-P\left(zweimalhintereinanderErdbeertee\right)\\ =1-({\displaystyle \frac{4}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{19}})\end{array}$

Die gegebene Rechnung beschreibt das Ereignis:

"Es wird nicht zweimal hintereinander Erdbeertee gezogen"

Wenn das Drehen das Glücksrad mehrmals gedreht wird, entspricht das einem Experiment mit Zurücklegen.

Ein mehrmaliges Ziehen aus der Teebox ist aber ein Ziehen ohne Zurücklegen.

Das Glücksrad passt also nicht zum Baumdiagramm aus Aufgabenteil a).

Die Skizze zeigt ein rechtwinkliges Dreieck.

$h^2+{\mathrm{5,53}}^2={\mathrm{5,57}}^2$

$h^2={\mathrm{5,57}}^2-{\mathrm{5,53}}^2=\mathrm{0,444}$

$h\approx \pm \mathrm{0,66633}$

Nur der positive Wert ergibt hier ein sinnvolles Ergebnis.

Der Höhenunterschied $h$ beträgt $\mathrm{0,67}\text{ km}$.

Der Winkel $\alpha$ kann mithilfe der Sinus Winkelfunktion berechnet werden.

$\sin \left(\alpha \right)={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}$

$\sin \left(\alpha \right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,66633}}{\mathrm{5,57}}}=\mathrm{0,1196}$

$\alpha \approx {\mathrm{6,87}}^{\circ }$

Steigungswinkel der Bergbahn "Rosi"

$\tan \left(\alpha \right)={\displaystyle \frac{9}{100}}={\mathrm{5,14}}^{\circ }$

Vergleich der Steigungswinkel

${\mathrm{5,14}}^{\circ }<{\mathrm{6,87}}^{\circ }$

Die Bergbahn "Waldi" hat die größere Steigung.

Bei einem Steigungswinkel von ${45}^{\circ }$ beträgt die Steigung $100\%$.

$\arctan \left({\displaystyle \frac{100}{100}}\right)={45}^{\circ }$

Der Steigungswinkel kann aber auch größer sein.

Dannys Behauptung ist falsch.

Größe des Neigungswinkels $\alpha$ bei einem Höhenunterschied von $u=217\text{ mm}$.

$\sin \left(\alpha \right)={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}$

$\sin \left(\alpha \right)={\displaystyle \frac{217}{1435}}\approx {\mathrm{8,70}}^{\circ }$

Vergleich mit den Neigungswinkeln der gegebenen Tabelle

${\mathrm{8,7}}^{\circ }>{\mathrm{8,6}}^{\circ }$

Der Zug kann mit $90{\displaystyle \frac{\text{km}}{\text{h}}}$ durch die Kurve fahren.