A2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = x^{3} - x$ .

Einer der folgenden Graphen I, II und III stellt $f$ dar.
Abbildung 1
Geben Sie die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründen Sie ihre Angabe.
(2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert
Gib die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründe deine Angabe
Betrachte das Verhalten des Graphen von $f (x) = x^{3} - x$ für $x$ gegen unendlich.
Es ist $\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ .
Demnach entfällt Graph II (hier gilt $\lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty$ ).
Graph III gehört nicht zu einer ganzrationalen Funktion.
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Betrachte das Verhalten des Graphen von $f (x) = x^{3} - x$ für $x$ gegen unendlich.
Ein Graph gehört nicht zu einer ganzrationalen Funktion.
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen.
$[$ Hinweis: Die Nullstellen dürfen dabei der obigen Abbildung 1 entnommen werden. $]$
(3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen
Die abgelesenen Nullstellen des Graphen von $f$ sind $x = - 1$ bzw. $x = 1$ .
Wegen der Punktsymmetrie des Graphen von $f$ gilt:
$A = 2 \cdot \int_{- 1}^{0} f (x) d x = 2 \cdot {[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{- 1}^{0} = 2 \cdot (0 - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen, beträgt $\frac{1}{2} FE$ .
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Lies die Nullstellen des Graphen von $f$ ab und berücksichtige bei der Flächenberechnung die Punktsymmetrie des Graphen von $f$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Gib die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründe deine Angabe

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Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse einschließen

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Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen