B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}, x \in ℝ$ .

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.

$P_{u} (u | f (u))$ ist ein beliebiger Punkt auf dem Graphen von $f$ .

$P_{u}$ legt zusammen mit $N (1 | 0)$ und $F_{u} (u | 0)$ das Dreieck $N F_{u} P_{u}$ fest.

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $N F_{u} P_{u}$ ein, das sich ergibt, wenn $P_{u}$ mit dem Hochpunkt von $f$ übereinstimmt. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Zeichne in Abbildung 1 das Dreieck $N F_{u} P_{u}$ ein, das sich ergibt, wenn $P_{u}$ mit dem Hochpunkt von $f$ übereinstimmt
Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.
$P_{2}$ stimmt mit dem Hochpunkt von $f$ überein.
Demnach ist $P_{2} (2 | f (2))$ und $f (2) = 10 \cdot (2 - 1) \cdot e^{- 2} \approx 1,35 \Rightarrow P_{2} (2 | 1,35)$ .
Zeichne $N (1 | 0)$ und $F_{2} (2 | 0)$ in Abbildung 1 ein und markiere den Hochpunkt $P_{2} (2 | 1,35)$ . Verbinde zu einem Dreieck.
Abbildung 1
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Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.
$P_{2}$ stimmt mit dem Hochpunkt von $f$ überein.
Zeichne $N (1 | 0)$ und $F_{2} (2 | 0)$ in Abbildung 1 ein und markiere den Hochpunkt.
Verbinde zu einem Dreieck.
Bestimme den Flächeninhalt des in a) gezeichneten Dreiecks. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Bestimme den Flächeninhalt des in a) gezeichneten Dreiecks
Bekannt sind $N (1 | 0)$ , $F_{2} (2 | 0)$ und $P_{2} (2 | 1,35)$ .
Dann gilt für die Dreiecksfläche:
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot (2 - 1) \cdot f (2) \approx \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1,35 = 0,675$
Der Flächeninhalt des in a) gezeichneten Dreiecks beträgt rund $0,675 FE$ .
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Bekannt sind $N (1 | 0)$ , $F_{2} (2 | 0)$ und $P_{2} (2 | 1,35)$ .
Dann gilt für die Dreiecksfläche $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ .
Setze die Werte für $g$ und $h$ ein.
Untersuchen Sie, ob $P_{u}$ so auf dem Graphen von $f$ gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck $N F_{u} P_{u}$ den Flächeninhalt $2 FE$ hat. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Untersuche, ob $P_{u}$ so auf dem Graphen von $f$ gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck $N F_{u} P_{u}$ den Flächeninhalt $2 FE$ hat
Für die Dreiecksfläche gilt: $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ .
Dabei ist $g = u - 1$ und $h = f (u) \Rightarrow A_{△} = \frac{1}{2} \cdot (u - 1) \cdot 10 \cdot (u - 1) \cdot e^{- u}$ .
$\Rightarrow A_{△} = 5 \cdot (u - 1)^{2} \cdot e^{- u}$
Es soll gelten: $A_{△} = 2$ .
Löse die Gleichung $5 \cdot (u - 1)^{2} \cdot e^{- u} = 2$ .
Mit dem CAS-Rechner erhält man $u \approx 0,2745$ .
Man kann also den Punkt $P_{0,2745} (0,2745 | f (0,2745))$ auf dem Graphen von $f$ so wählen, dass das zugehörige Dreieck $N F_{_{0,2745}} P_{_{0,2745}}$ den Flächeninhalt $2 FE$ hat.
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Für die Dreiecksfläche gilt: $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ .
Dabei ist $g = u - 1$ und $h = f (u) \Rightarrow A_{△}$ .
Löse die Gleichung $A_{△} = 2 \Rightarrow u_{1}$ .
Es gibt einen Punkt $P_{u_{1}}$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Zeichne in Abbildung 1 das Dreieck NFuPu ein, das sich ergibt, wenn Pu mit dem Hochpunkt von f übereinstimmt

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Bestimme den Flächeninhalt des in a) gezeichneten Dreiecks

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Untersuche, ob Pu so auf dem Graphen von f gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck NFuPu den Flächeninhalt 2FE hat

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Zeichne in Abbildung 1 das Dreieck $N F_{u} P_{u}$ ein, das sich ergibt, wenn $P_{u}$ mit dem Hochpunkt von $f$ übereinstimmt

Untersuche, ob $P_{u}$ so auf dem Graphen von $f$ gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck $N F_{u} P_{u}$ den Flächeninhalt $2 FE$ hat