B1

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1
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, x \in \mathbb{R}$ .
Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.
Abbildung 1
1. Begründen Sie, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Begründe, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist
  Gegeben ist $f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ .
  Für die Nullstellen löse die Gleichung $f (x) = 0$ .
  $0=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$
  Weil $\mathrm{e}^{-x}\neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
  $\Rightarrow\;x-1=0\;\Rightarrow\;x=1$
  Demnach ist $x = 1$ die einzige Nullstelle.
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  Löse die Gleichung $f (x) = 0$ .
2. Zeigen Sie: $f^{\prime}(x)=10 \cdot(2-x) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel
  Zeige: $f^{\prime}(x)=10 \cdot(2-x) \cdot \mathrm{e}^{-x}$
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
  $f'(x)=10\cdot(1\cdot e^{-x}+(x-1)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot(2-x)\cdot e^{-x}$
  Die erste Ableitung ist $f'(x)=10\cdot(2-x)\cdot e^{-x}$ .
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  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung.
3. Untersuchen Sie $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen.
  $[$ Kontrolllösung: An der Stelle $x = 2$ liegt eine lokale Maximalstelle vor. $]$ (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen
  Die erste Ableitung ist $f'(x)=10\cdot(2-x)\cdot e^{-x}$ .
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
  $f'(x)=0\;\Rightarrow\;0 =10\cdot(2-x)\cdot e^{-x}$
  Weil $\mathrm{e}^{-x}\neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
  $2-x=0\;\Rightarrow\;x=2$
  Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f''(x)\neq 0$ .
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:
  $f''(x)=10\cdot\left((-1)\cdot e^{-x}+(2-x)\cdot e^{-x}\cdot (-1)\right)=10\cdot(x-3)\cdot e^{-x}$
  $f''(2)=10\cdot(2-3)\cdot e^{-2}=-10\cdot e^{-2}<0$
  Die Funktion $f$ hat genau eine lokale Extremstelle.
  Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.
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  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
  Bilde die 1. Ableitung und löse die Gleichung $f'(x)=0\;\Rightarrow\;x_1$ .
  Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f''(x)\neq 0$ .
  Bilde die 2. Ableitung und überprüfe $f^{''} (x_{1})$ .
4. Ermitteln Sie, für welche $x \in \mathbb{R}$ gilt: $f (x) < 0,1$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Ermittle, für welche $x \in \mathbb{R}$ gilt: $f (x) < 0,1$
  Löse die Gleichung $f (x) = 0,1$ .
  Der GTR-Rechner liefert die Lösungen:
  $x_1\approx1{,}02795...$ und $x_2\approx6{,}26654...$ .
  Betrachtet man den Graphen von $f$ , dann findet man, dass für $x<x_1\approx1{,}0280$ und für $x>x_2\approx6{,}2665$ gilt: $f (x) < 0,1$ .
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  Löse mit dem GTR-Rechner die Gleichung $f (x) = 0,1$ .
  Betrachte den Graphen von $f$ und entscheide, für welche x-Werte die Bedingung erfüllt ist.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, x \in \mathbb{R}$ .
Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.
Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.
Abbildung 1
$P_{u}(u \mid f(u))$ ist ein beliebiger Punkt auf dem Graphen von $f$ .
$P_{u}$ legt zusammen mit $N(1 \mid 0)$ und $F_{u}(u \mid 0)$ das Dreieck $N F_{u} P_{u}$ fest.
1. Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $N F_{u} P_{u}$ ein, das sich ergibt, wenn $P_{u}$ mit dem Hochpunkt von $f$ übereinstimmt. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Zeichne in Abbildung 1 das Dreieck $N F_{u} P_{u}$ ein, das sich ergibt, wenn $P_{u}$ mit dem Hochpunkt von $f$ übereinstimmt
  Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.
  $P_{2}$ stimmt mit dem Hochpunkt von $f$ überein.
  Demnach ist $P_{2}(2 \mid f(2))$ und $f(2)=10 \cdot(2-1) \cdot \mathrm{e}^{-2}\approx1{,}35\;\Rightarrow\;P_2(2\mid 1{,}35)$ .
  Zeichne $N(1 \mid 0)$ und $F_{2}(2 \mid 0)$ in Abbildung 1 ein und markiere den Hochpunkt $P_2(2\mid 1{,}35)$ . Verbinde zu einem Dreieck.
  Abbildung 1
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  Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.
  $P_{2}$ stimmt mit dem Hochpunkt von $f$ überein.
  Zeichne $N(1 \mid 0)$ und $F_{2}(2 \mid 0)$ in Abbildung 1 ein und markiere den Hochpunkt.
  Verbinde zu einem Dreieck.
2. Bestimme den Flächeninhalt des in a) gezeichneten Dreiecks. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Bestimme den Flächeninhalt des in a) gezeichneten Dreiecks
  Bekannt sind $N(1 \mid 0)$ , $F_{2}(2 \mid 0)$ und $P_2(2\mid 1{,}35)$ .
  Dann gilt für die Dreiecksfläche:
  $A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot(2-1)\cdot f(2)\approx \dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1{,}35=0{,}675$
  Der Flächeninhalt des in a) gezeichneten Dreiecks beträgt rund $0{,}675\;\mathrm{FE}$ .
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  Bekannt sind $N(1 \mid 0)$ , $F_{2}(2 \mid 0)$ und $P_2(2\mid 1{,}35)$ .
  Dann gilt für die Dreiecksfläche $A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h$ .
  Setze die Werte für $g$ und $h$ ein.
3. Untersuchen Sie, ob $P_{u}$ so auf dem Graphen von $f$ gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck $N F_{u} P_{u}$ den Flächeninhalt $2\;\mathrm{FE}$ hat. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Untersuche, ob $P_{u}$ so auf dem Graphen von $f$ gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck $N F_{u} P_{u}$ den Flächeninhalt $2\;\mathrm{FE}$ hat
  Für die Dreiecksfläche gilt: $A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h$ .
  Dabei ist $g = u - 1$ und $h=f(u)\;\Rightarrow\;A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot(u-1)\cdot 10 \cdot(u-1) \cdot \mathrm{e}^{-u}$ .
  $\Rightarrow\;A_\triangle=5\cdot(u-1)^2 \cdot \mathrm{e}^{-u}$
  Es soll gelten: $A_\triangle=2$ .
  Löse die Gleichung $5\cdot(u-1)^2 \cdot \mathrm{e}^{-u}=2$ .
  Mit dem CAS-Rechner erhält man $u\approx0{,}2745$ .
  Man kann also den Punkt $P_{0{,}2745}(0{,}2745\mid f(0{,}2745))$ auf dem Graphen von $f$ so wählen, dass das zugehörige Dreieck $N F_{_{0{,}2745}} P_{_{0{,}2745}}$ den Flächeninhalt $2\;\mathrm{FE}$ hat.
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  Für die Dreiecksfläche gilt: $A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h$ .
  Dabei ist $g = u - 1$ und $h=f(u)\;\Rightarrow\;A_\triangle$ .
  Löse die Gleichung $A_\triangle=2\;\Rightarrow\;u_1$ .
  Es gibt einen Punkt $P_{u_1}$ .
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, x \in \mathbb{R}$ .
Die 1. Ableitung ist $f'(x)=10\cdot(2-x)\cdot \mathrm{e}^{-x}$ .
Gegeben ist die Funktion $t$ mit $t(x)=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3} \cdot x+50 \cdot \mathrm{e}^{-3}, x \in \mathbb{R}$ , und der Wendepunkt $W(3 \mid f(3))$ des Graphen von $f$ .
1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Weise rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist
  Wenn $t$ Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist, dann muss für den Punkt $W$ gelten:
  $W\in t$ d.h. $f (3) = t (3)$ .
  Die Steigungen der beiden Graphen müssen im Punkt $W$ gleich groß sein, d.h. $f^{'} (3) = t^{'} (3)$ .
  Gegeben sind: $W(3 \mid f(3)), f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x},t(x)=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3} \cdot x+50 \cdot \mathrm{e}^{-3}$ ,
  und nach Aufgabe 1 auch $f'(x)=10\cdot(2-x)\cdot \mathrm{e}^{-x}$ .
  Überprüfung der 1. Bedingung:
  Es ist $f(3)=10 \cdot(3-1) \cdot \mathrm{e}^{-3}=20\cdot \mathrm{e}^{-3}$ und $t(3)=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3} \cdot 3+50 \cdot \mathrm{e}^{-3}=20\cdot \mathrm{e}^{-3}\;\Rightarrow\;f(3)=t(3)\;\checkmark$ .
  Überprüfung der 2. Bedingung:
  Für $t^{'} (x)$ erhält man: $t'(x)=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3}$
  Dann ist $f'(3)=10\cdot(2-3)\cdot \mathrm{e}^{-3}=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3}=t'(3)\;\checkmark$ .
  Die beiden Bedingungen sind erfüllt und der Graph von $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W(3 \mid f(3))$ .
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  Wenn $t$ Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist, dann muss für den Punkt $W$ gelten:
  $W\in t$ , d.h. $f (3) = t (3)$ .
  Die Steigungen der beiden Graphen müssen im Punkt $W$ gleich groß sein, d.h. $f^{'} (3) = t^{'} (3)$ .
  Überprüfe die beiden Bedingungen.
2. Die Schnittpunkte der in Aufgabe 3 gegebenen Tangente mit den beiden Koordinatenachsen legen zusammen mit dem Koordinatenursprung $O(0 \mid 0)$ ein Dreieck fest.
  Berechnen Sie den Umfang dieses Dreiecks. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  Berechne den Umfang dieses Dreiecks
  Skizze des Dreiecks.
  Es ist $t(x)=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3} \cdot x+50 \cdot \mathrm{e}^{-3}$ .
  Der Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse ist $t(0)\;\Rightarrow\;t(0)=50 \cdot \mathrm{e}^{-3}\approx2{,}4894$ .
  Dann ist $S_y(0|50 \cdot \mathrm{e}^{-3})$ , gerundet $S_y(0|2{,}4894)$ .
  Für den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse setze $t (x) = 0$ .
  $0=-10 \cdot \mathrm{e}^{-3} \cdot x+50 \cdot \mathrm{e}^{-3}=10\cdot\mathrm{e}^{-3}(-x+5)\;\Rightarrow\;x=5$
  Dann ist $S_{x} (5 ∣ 0)$ .
  Für den Abstand von $2$ Punkten verwende $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ .
  Setze die Koordinaten von $S_{x}$ und $S_{y}$ ein:
  $d=\sqrt{(5-0)^2+(0-50 \cdot \mathrm{e}^{-3})^2}=\sqrt{25+2500\cdot\mathrm{e}^{-6}}\approx5{,}5854$
  Die Länge dieser Strecke beträgt rund $5{,}5854 \;\mathrm{LE}$ .
  Der Umfang des Dreiecks ist die Summe der drei Seiten des Dreiecks.
  $U=\overline {OS_x}+\overline {OS_y}+ d=5+2{,}4894+5{,}5854\approx 13{,}075$
  Der Umfang dieses Dreiecks beträgt rund $13{,}075\;\mathrm{LE}$ .
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  Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse $\;\Rightarrow\;S_y(x_1|y_1)$ .
  Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse $\;\Rightarrow\;S_x(x_2|y_2)$ .
  Für den Abstand von $2$ Punkten verwende $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ .
  Der Umfang des Dreiecks ist die Summe der drei Seiten des Dreiecks $U = y_{1} + y_{2} + d$ .
3. Im Intervall $[1; 5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in Aufgabe 3 gegebene Tangente zusammen mit der $x$ -Achse eine Fläche $F$ (siehe Abbildung 2).
  Bestimmen Sie den Flächeninhalt von $F$ . (3 P)
  Abbildung 2
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Bestimme den Flächeninhalt von $F$
  Bekannt ist: Im Intervall $[1; 5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in Aufgabe 2 gegebene Tangente zusammen mit der $x$ -Achse eine Fläche $F$ und es ist $W(3 \mid f(3))$ .
  Die Fläche $F$ besteht aus 2 Teilen $F = A_{1} + A_{2}$ .
  Die Grenzen für die Flächenberechnung der ersten Fläche sind die linke Intervallgrenze $1$ und die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ .
  Die Grenzen für die Flächenberechnung der zweiten Fläche sind die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ und die rechte Intervallgrenze $5$ .
  Dann gilt: $A_1=\displaystyle\int_1^3f(x)\;\mathrm{d}x$ und $A_2=\displaystyle\int_3^5t(x)\;\mathrm{d}x$ .
  Der CAS-Rechner liefert das Ergebnis für $F = A_{1} + A_{2}$ :
  Der Flächeninhalt von $F$ beträgt rund $3{,}18\;\mathrm{FE}$ .
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  Die Fläche $F$ besteht aus 2 Teilen $F = A_{1} + A_{2}$ .
  Die Grenzen für die Flächenberechnung der ersten Fläche sind die linke Intervallgrenze $1$ und die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ .
  Die Grenzen für die Flächenberechnung der zweiten Fläche sind die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ und die rechte Intervallgrenze $5$ .
  Berechne mit dem CAS die Summe der beiden Integrale.
  Runde auf vier Nachkommastellen.
4
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=10\cdot(x−1)\cdot \mathrm{e}^{−x}$ .
Die 1. Ableitung ist $f'(x)=10\cdot(2−x)\cdot \mathrm{e}^{−x}$ .
Die Gerade mit der Gleichung $y = x$ wird als "1. Winkelhalbierende" bezeichnet. Es gibt genau einen Punkt $R$ auf dem Graphen von $f$ , in dem die Tangente $t_{R}$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist.
1. Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_{R}$ .
  $[$ Mögliche Lösung: Falls man auf vier Stellen nach dem Komma rundet, ergibt sich für die Tangente $t_{R}$ als Gleichung $y = x - 0,3823$ . $]$ (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Ermittle rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_{R}$
  Bekannt ist, dass die Tangente $t_{R}$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist $\;\Rightarrow\;m_t=1\;\Rightarrow\;t_R: y=1\cdot x+b$ .
  Gesucht ist nun eine Stelle $x_{t}$ an der $f^{'} (x_{t}) = 1$ ist:
  Löse die Gleichung $10\cdot(2−x_t)\cdot \mathrm{e}^{−x_t}=1$ .
  Der CAS-Rechner liefert als Lösung $x_t\approx1{,}5355924...$ .
  Berechne $f(x_t)=f(1{,}5356)\approx1{,}1532885...\;\Rightarrow\;R(1{,}5356\mid 1{,}1533)$ .
  Setze die Koordinaten von $R$ in $t_{R} : y = x + b$ ein:
  $t_R: 1{,}1533= 1{,}5356+b\;\Rightarrow\;b=1{,}1533-1{,}5356=-0{,}3823$
  Die Tangentengleichung lautet $t_R: y= x-0{,}3823$ .
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  Bekannt ist, dass die Tangente $t_{R}$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist. Welche Steigung hat dann die Tangente? $\;\Rightarrow\;m_t$
  Gesucht ist eine Stelle $x_{t}$ an der $f^{'} (x_{t}) = m_{t}$ ist.
  Der CAS-Rechner liefert als Lösung dieser Gleichung einen Wert $x_{t}$ .
  Berechne $f(x_t)=y_t\;\Rightarrow\;R(x_t\mid y_t)$ .
  Setze die Koordinaten von $R$ in $t_R: y= m_t\cdot x+b$ ein und löse nach $b$ auf.
2. Die Gerade mit der Gleichung $y = - x$ wird als "2. Winkelhalbierende" bezeichnet.
  Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden.
  (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung des Schnittpunkts zweier Geraden
  Bestimme den Schnittpunkt der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden
  Gegeben sind $t_R: y= x-0{,}3823$ und $y = - x$ .
  Für die Berechnung des Schnittpunktes löse die Gleichung $x - 0,3823 = - x$ nach $x$ auf $\Rightarrow\;2x=0{,}3823\;\Rightarrow\;x\approx0{,}1912$ .
  Setze $x = 0,1912$ in $t_{R} (x)$ ein $\;\Rightarrow\;y=0{,}1912-0{,}3823\approx-0{,}1912$
  Der Schnittpunkt $S$ der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden hat die Koordinaten $S(0{,}1912\mid -0{,}1912)$ .
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  Gegeben sind die Tangentengleichung $t_{R}$ und die Gleichung der 2. Winkelhalbierenden $y = - x$ .
  Für die Berechnung des Schnittpunktes löse die Gleichung $t_R=y\;\Rightarrow\;x_1$
  Setze $x_{1}$ in $t_{R} (x)$ ein $\;\Rightarrow\;y_1\;\Rightarrow\;S(x_1\mid y_1)$ .
3. Ermitteln Sie rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte berechnen
  Ermittle rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat
  Die 1. Winkelhalbierende verläuft durch den Koordinatenursprung.
  Die 2. Winkelhalbierende steht im Koordinatenursprung senkrecht auf der 1. Winkelhalbierenden.
  Der Schnittpunkt $S$ der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden hat die Koordinaten $S(0{,}1912\mid -0{,}1912)$ .
  Gesucht ist also der Abstand von $S$ zum Koordinatenursprung:
  $d=|\overrightarrow{OS}|=\sqrt{(0{,}1912-0)^2+(-0{,}1912-0)^2}\approx0{,}2704$
  Der Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat, beträgt rund $0{,}2704\;\mathrm{LE}$ .
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  Bekannt ist der Schnittpunkt $S(x_1\mid y_1)$ .
  Bestimme den Abstand des Schnittpunktes vom Koordinatenursprung, d.h. den Betrag des Vektors $\overrightarrow{OS}$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

B1

Aufgabe 1

Begründe, dass x=1x=1x=1 die einzige Nullstelle von fff ist

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Zeige: f′(x)=10⋅(2−x)⋅e−xf^{\prime}(x)=10 \cdot(2-x) \cdot \mathrm{e}^{-x}f′(x)=10⋅(2−x)⋅e−x

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Untersuche fff rechnerisch auf lokale Extremstellen

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Ermittle, für welche x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R gilt: f(x)<0,1f(x)<0{,}1f(x)<0,1

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Aufgabe 2

Zeichne in Abbildung 1 das Dreieck NFuPuN F_{u} P_{u}NFu​Pu​ ein, das sich ergibt, wenn PuP_{u}Pu​ mit dem Hochpunkt von fff übereinstimmt

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Bestimme den Flächeninhalt des in a) gezeichneten Dreiecks

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Untersuche, ob PuP_{u}Pu​ so auf dem Graphen von fff gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck NFuPuN F_{u} P_{u}NFu​Pu​ den Flächeninhalt 2 FE2\;\mathrm{FE}2FE hat

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Aufgabe 3

Weise rechnerisch nach, dass der Graph von ttt die Tangente an den Graphen von fff im Punkt WWW ist

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Berechne den Umfang dieses Dreiecks

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Bestimme den Flächeninhalt von FFF

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Aufgabe 4

Ermittle rechnerisch eine Gleichung für die Tangente tRt_{R}tR​

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Bestimme den Schnittpunkt der Tangente tRt_{R}tR​ mit der 2. Winkelhalbierenden

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Ermittle rechnerisch den Abstand, den die Tangente tRt_{R}tR​ von der 1. Winkelhalbierenden hat

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Begründe, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist

Zeige: $f^{\prime}(x)=10 \cdot(2-x) \cdot \mathrm{e}^{-x}$

Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen

Ermittle, für welche $x \in \mathbb{R}$ gilt: $f (x) < 0,1$

Zeichne in Abbildung 1 das Dreieck $N F_{u} P_{u}$ ein, das sich ergibt, wenn $P_{u}$ mit dem Hochpunkt von $f$ übereinstimmt

Untersuche, ob $P_{u}$ so auf dem Graphen von $f$ gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck $N F_{u} P_{u}$ den Flächeninhalt $2\;\mathrm{FE}$ hat

Weise rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist

Bestimme den Flächeninhalt von $F$

Ermittle rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_{R}$

Bestimme den Schnittpunkt der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden

Ermittle rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat