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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}, x \in ℝ$ .
Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.
Abbildung 1
1. Begründen Sie, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Begründe, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist
  Gegeben ist $f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}$ .
  Für die Nullstellen löse die Gleichung $f (x) = 0$ .
  $0 = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}$
  Weil $e^{- x} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
  $\Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
  Demnach ist $x = 1$ die einzige Nullstelle.
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  Löse die Gleichung $f (x) = 0$ .
2. Zeigen Sie: $f^{'} (x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel
  Zeige: $f^{'} (x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
  $f^{'} (x) = 10 \cdot (1 \cdot e^{- x} + (x - 1) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$
  Die erste Ableitung ist $f^{'} (x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$ .
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  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung.
3. Untersuchen Sie $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen.
  $[$ Kontrolllösung: An der Stelle $x = 2$ liegt eine lokale Maximalstelle vor. $]$ (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen
  Die erste Ableitung ist $f^{'} (x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$ .
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
  $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow 0 = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$
  Weil $e^{- x} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
  $2 - x = 0 \Rightarrow x = 2$
  Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{''} (x) \neq 0$ .
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:
  $f^{''} (x) = 10 \cdot ((- 1) \cdot e^{- x} + (2 - x) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)) = 10 \cdot (x - 3) \cdot e^{- x}$
  $f^{''} (2) = 10 \cdot (2 - 3) \cdot e^{- 2} = - 10 \cdot e^{- 2} < 0$
  Die Funktion $f$ hat genau eine lokale Extremstelle.
  Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.
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  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
  Bilde die 1. Ableitung und löse die Gleichung $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x_{1}$ .
  Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{''} (x) \neq 0$ .
  Bilde die 2. Ableitung und überprüfe $f^{''} (x_{1})$ .
4. Ermitteln Sie, für welche $x \in ℝ$ gilt: $f (x) < 0,1$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Ermittle, für welche $x \in ℝ$ gilt: $f (x) < 0,1$
  Löse die Gleichung $f (x) = 0,1$ .
  Der GTR-Rechner liefert die Lösungen:
  $x_{1} \approx 1,02795...$ und $x_{2} \approx 6,26654...$ .
  Betrachtet man den Graphen von $f$ , dann findet man, dass für $x < x_{1} \approx 1,0280$ und für $x > x_{2} \approx 6,2665$ gilt: $f (x) < 0,1$ .
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  Löse mit dem GTR-Rechner die Gleichung $f (x) = 0,1$ .
  Betrachte den Graphen von $f$ und entscheide, für welche x-Werte die Bedingung erfüllt ist.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}, x \in ℝ$ .
Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.
Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.
Abbildung 1
$P_{u} (u | f (u))$ ist ein beliebiger Punkt auf dem Graphen von $f$ .
$P_{u}$ legt zusammen mit $N (1 | 0)$ und $F_{u} (u | 0)$ das Dreieck $N F_{u} P_{u}$ fest.
1. Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $N F_{u} P_{u}$ ein, das sich ergibt, wenn $P_{u}$ mit dem Hochpunkt von $f$ übereinstimmt. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Zeichne in Abbildung 1 das Dreieck $N F_{u} P_{u}$ ein, das sich ergibt, wenn $P_{u}$ mit dem Hochpunkt von $f$ übereinstimmt
  Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.
  $P_{2}$ stimmt mit dem Hochpunkt von $f$ überein.
  Demnach ist $P_{2} (2 | f (2))$ und $f (2) = 10 \cdot (2 - 1) \cdot e^{- 2} \approx 1,35 \Rightarrow P_{2} (2 | 1,35)$ .
  Zeichne $N (1 | 0)$ und $F_{2} (2 | 0)$ in Abbildung 1 ein und markiere den Hochpunkt $P_{2} (2 | 1,35)$ . Verbinde zu einem Dreieck.
  Abbildung 1
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  Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.
  $P_{2}$ stimmt mit dem Hochpunkt von $f$ überein.
  Zeichne $N (1 | 0)$ und $F_{2} (2 | 0)$ in Abbildung 1 ein und markiere den Hochpunkt.
  Verbinde zu einem Dreieck.
2. Bestimme den Flächeninhalt des in a) gezeichneten Dreiecks. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Bestimme den Flächeninhalt des in a) gezeichneten Dreiecks
  Bekannt sind $N (1 | 0)$ , $F_{2} (2 | 0)$ und $P_{2} (2 | 1,35)$ .
  Dann gilt für die Dreiecksfläche:
  $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot (2 - 1) \cdot f (2) \approx \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1,35 = 0,675$
  Der Flächeninhalt des in a) gezeichneten Dreiecks beträgt rund $0,675 FE$ .
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  Bekannt sind $N (1 | 0)$ , $F_{2} (2 | 0)$ und $P_{2} (2 | 1,35)$ .
  Dann gilt für die Dreiecksfläche $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ .
  Setze die Werte für $g$ und $h$ ein.
3. Untersuchen Sie, ob $P_{u}$ so auf dem Graphen von $f$ gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck $N F_{u} P_{u}$ den Flächeninhalt $2 FE$ hat. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Untersuche, ob $P_{u}$ so auf dem Graphen von $f$ gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck $N F_{u} P_{u}$ den Flächeninhalt $2 FE$ hat
  Für die Dreiecksfläche gilt: $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ .
  Dabei ist $g = u - 1$ und $h = f (u) \Rightarrow A_{△} = \frac{1}{2} \cdot (u - 1) \cdot 10 \cdot (u - 1) \cdot e^{- u}$ .
  $\Rightarrow A_{△} = 5 \cdot (u - 1)^{2} \cdot e^{- u}$
  Es soll gelten: $A_{△} = 2$ .
  Löse die Gleichung $5 \cdot (u - 1)^{2} \cdot e^{- u} = 2$ .
  Mit dem CAS-Rechner erhält man $u \approx 0,2745$ .
  Man kann also den Punkt $P_{0,2745} (0,2745 | f (0,2745))$ auf dem Graphen von $f$ so wählen, dass das zugehörige Dreieck $N F_{_{0,2745}} P_{_{0,2745}}$ den Flächeninhalt $2 FE$ hat.
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  Für die Dreiecksfläche gilt: $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ .
  Dabei ist $g = u - 1$ und $h = f (u) \Rightarrow A_{△}$ .
  Löse die Gleichung $A_{△} = 2 \Rightarrow u_{1}$ .
  Es gibt einen Punkt $P_{u_{1}}$ .
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}, x \in ℝ$ .
Die 1. Ableitung ist $f^{'} (x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$ .
Gegeben ist die Funktion $t$ mit $t (x) = - 10 \cdot e^{- 3} \cdot x + 50 \cdot e^{- 3}, x \in ℝ$ , und der Wendepunkt $W (3 | f (3))$ des Graphen von $f$ .
1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Weise rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist
  Wenn $t$ Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist, dann muss für den Punkt $W$ gelten:
  $W \in t$ d.h. $f (3) = t (3)$ .
  Die Steigungen der beiden Graphen müssen im Punkt $W$ gleich groß sein, d.h. $f^{'} (3) = t^{'} (3)$ .
  Gegeben sind: $W (3 | f (3)), f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}, t (x) = - 10 \cdot e^{- 3} \cdot x + 50 \cdot e^{- 3}$ ,
  und nach Aufgabe 1 auch $f^{'} (x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$ .
  Überprüfung der 1. Bedingung:
  Es ist $f (3) = 10 \cdot (3 - 1) \cdot e^{- 3} = 20 \cdot e^{- 3}$ und $t (3) = - 10 \cdot e^{- 3} \cdot 3 + 50 \cdot e^{- 3} = 20 \cdot e^{- 3} \Rightarrow f (3) = t (3) ✓$ .
  Überprüfung der 2. Bedingung:
  Für $t^{'} (x)$ erhält man: $t^{'} (x) = - 10 \cdot e^{- 3}$
  Dann ist $f^{'} (3) = 10 \cdot (2 - 3) \cdot e^{- 3} = - 10 \cdot e^{- 3} = t^{'} (3) ✓$ .
  Die beiden Bedingungen sind erfüllt und der Graph von $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W (3 | f (3))$ .
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  Wenn $t$ Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist, dann muss für den Punkt $W$ gelten:
  $W \in t$ , d.h. $f (3) = t (3)$ .
  Die Steigungen der beiden Graphen müssen im Punkt $W$ gleich groß sein, d.h. $f^{'} (3) = t^{'} (3)$ .
  Überprüfe die beiden Bedingungen.
2. Die Schnittpunkte der in Aufgabe 3 gegebenen Tangente mit den beiden Koordinatenachsen legen zusammen mit dem Koordinatenursprung $O (0 | 0)$ ein Dreieck fest.
  Berechnen Sie den Umfang dieses Dreiecks. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
  Berechne den Umfang dieses Dreiecks
  Skizze des Dreiecks.
  Es ist $t (x) = - 10 \cdot e^{- 3} \cdot x + 50 \cdot e^{- 3}$ .
  Der Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse ist $t (0) \Rightarrow t (0) = 50 \cdot e^{- 3} \approx 2,4894$ .
  Dann ist $S_{y} (0 | 50 \cdot e^{- 3})$ , gerundet $S_{y} (0 | 2,4894)$ .
  Für den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse setze $t (x) = 0$ .
  $0 = - 10 \cdot e^{- 3} \cdot x + 50 \cdot e^{- 3} = 10 \cdot e^{- 3} (- x + 5) \Rightarrow x = 5$
  Dann ist $S_{x} (5 | 0)$ .
  Für den Abstand von $2$ Punkten verwende $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ .
  Setze die Koordinaten von $S_{x}$ und $S_{y}$ ein:
  $d = \sqrt{(5 - 0)^{2} + (0 - 50 \cdot e^{- 3})^{2}} = \sqrt{25 + 2500 \cdot e^{- 6}} \approx 5,5854$
  Die Länge dieser Strecke beträgt rund $5,5854 LE$ .
  Der Umfang des Dreiecks ist die Summe der drei Seiten des Dreiecks.
  $U = O S_{x} + O S_{y} + d = 5 + 2,4894 + 5,5854 \approx 13,075$
  Der Umfang dieses Dreiecks beträgt rund $13,075 LE$ .
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  Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse $\Rightarrow S_{y} (x_{1} | y_{1})$ .
  Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse $\Rightarrow S_{x} (x_{2} | y_{2})$ .
  Für den Abstand von $2$ Punkten verwende $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ .
  Der Umfang des Dreiecks ist die Summe der drei Seiten des Dreiecks $U = y_{1} + y_{2} + d$ .
3. Im Intervall $[1; 5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in Aufgabe 3 gegebene Tangente zusammen mit der $x$ -Achse eine Fläche $F$ (siehe Abbildung 2).
  Bestimmen Sie den Flächeninhalt von $F$ . (3 P)
  Abbildung 2
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Bestimme den Flächeninhalt von $F$
  Bekannt ist: Im Intervall $[1; 5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in Aufgabe 2 gegebene Tangente zusammen mit der $x$ -Achse eine Fläche $F$ und es ist $W (3 | f (3))$ .
  Die Fläche $F$ besteht aus 2 Teilen $F = A_{1} + A_{2}$ .
  Die Grenzen für die Flächenberechnung der ersten Fläche sind die linke Intervallgrenze $1$ und die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ .
  Die Grenzen für die Flächenberechnung der zweiten Fläche sind die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ und die rechte Intervallgrenze $5$ .
  Dann gilt: $A_{1} = \int_{1}^{3} f (x) d x$ und $A_{2} = \int_{3}^{5} t (x) d x$ .
  Der CAS-Rechner liefert das Ergebnis für $F = A_{1} + A_{2}$ :
  Der Flächeninhalt von $F$ beträgt rund $3,18 FE$ .
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  Die Fläche $F$ besteht aus 2 Teilen $F = A_{1} + A_{2}$ .
  Die Grenzen für die Flächenberechnung der ersten Fläche sind die linke Intervallgrenze $1$ und die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ .
  Die Grenzen für die Flächenberechnung der zweiten Fläche sind die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ und die rechte Intervallgrenze $5$ .
  Berechne mit dem CAS die Summe der beiden Integrale.
  Runde auf vier Nachkommastellen.
4
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}$ .
Die 1. Ableitung ist $f^{'} (x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$ .
Die Gerade mit der Gleichung $y = x$ wird als "1. Winkelhalbierende" bezeichnet. Es gibt genau einen Punkt $R$ auf dem Graphen von $f$ , in dem die Tangente $t_{R}$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist.
1. Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_{R}$ .
  $[$ Mögliche Lösung: Falls man auf vier Stellen nach dem Komma rundet, ergibt sich für die Tangente $t_{R}$ als Gleichung $y = x - 0,3823$ . $]$ (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Ermittle rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_{R}$
  Bekannt ist, dass die Tangente $t_{R}$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist $\Rightarrow m_{t} = 1 \Rightarrow t_{R} : y = 1 \cdot x + b$ .
  Gesucht ist nun eine Stelle $x_{t}$ an der $f^{'} (x_{t}) = 1$ ist:
  Löse die Gleichung $10 \cdot (2 - x_{t}) \cdot e^{- x_{t}} = 1$ .
  Der CAS-Rechner liefert als Lösung $x_{t} \approx 1,5355924...$ .
  Berechne $f (x_{t}) = f (1,5356) \approx 1,1532885... \Rightarrow R (1,5356 | 1,1533)$ .
  Setze die Koordinaten von $R$ in $t_{R} : y = x + b$ ein:
  $t_{R} : 1,1533 = 1,5356 + b \Rightarrow b = 1,1533 - 1,5356 = - 0,3823$
  Die Tangentengleichung lautet $t_{R} : y = x - 0,3823$ .
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  Bekannt ist, dass die Tangente $t_{R}$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist. Welche Steigung hat dann die Tangente? $\Rightarrow m_{t}$
  Gesucht ist eine Stelle $x_{t}$ an der $f^{'} (x_{t}) = m_{t}$ ist.
  Der CAS-Rechner liefert als Lösung dieser Gleichung einen Wert $x_{t}$ .
  Berechne $f (x_{t}) = y_{t} \Rightarrow R (x_{t} | y_{t})$ .
  Setze die Koordinaten von $R$ in $t_{R} : y = m_{t} \cdot x + b$ ein und löse nach $b$ auf.
2. Die Gerade mit der Gleichung $y = - x$ wird als "2. Winkelhalbierende" bezeichnet.
  Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden.
  (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung des Schnittpunkts zweier Geraden
  Bestimme den Schnittpunkt der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden
  Gegeben sind $t_{R} : y = x - 0,3823$ und $y = - x$ .
  Für die Berechnung des Schnittpunktes löse die Gleichung $x - 0,3823 = - x$ nach $x$ auf $\Rightarrow 2 x = 0,3823 \Rightarrow x \approx 0,1912$ .
  Setze $x = 0,1912$ in $t_{R} (x)$ ein $\Rightarrow y = 0,1912 - 0,3823 \approx - 0,1912$
  Der Schnittpunkt $S$ der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden hat die Koordinaten $S (0,1912 | - 0,1912)$ .
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  Gegeben sind die Tangentengleichung $t_{R}$ und die Gleichung der 2. Winkelhalbierenden $y = - x$ .
  Für die Berechnung des Schnittpunktes löse die Gleichung $t_{R} = y \Rightarrow x_{1}$
  Setze $x_{1}$ in $t_{R} (x)$ ein $\Rightarrow y_{1} \Rightarrow S (x_{1} | y_{1})$ .
3. Ermitteln Sie rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte berechnen
  Ermittle rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat
  Die 1. Winkelhalbierende verläuft durch den Koordinatenursprung.
  Die 2. Winkelhalbierende steht im Koordinatenursprung senkrecht auf der 1. Winkelhalbierenden.
  Der Schnittpunkt $S$ der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden hat die Koordinaten $S (0,1912 | - 0,1912)$ .
  Gesucht ist also der Abstand von $S$ zum Koordinatenursprung:
  $d = | \vec{O S} | = \sqrt{(0,1912 - 0)^{2} + (- 0,1912 - 0)^{2}} \approx 0,2704$
  Der Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat, beträgt rund $0,2704 LE$ .
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  Bekannt ist der Schnittpunkt $S (x_{1} | y_{1})$ .
  Bestimme den Abstand des Schnittpunktes vom Koordinatenursprung, d.h. den Betrag des Vektors $\vec{O S}$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

B1

Aufgabe 1

Begründe, dass x=1 die einzige Nullstelle von f ist

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Zeige: f′(x)=10⋅(2−x)⋅e−x

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Untersuche f rechnerisch auf lokale Extremstellen

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Ermittle, für welche x∈ℝ gilt: f(x)<0,1

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Aufgabe 2

Zeichne in Abbildung 1 das Dreieck NFuPu ein, das sich ergibt, wenn Pu mit dem Hochpunkt von f übereinstimmt

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme den Flächeninhalt des in a) gezeichneten Dreiecks

Hast du eine Frage oder Feedback?

Untersuche, ob Pu so auf dem Graphen von f gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck NFuPu den Flächeninhalt 2FE hat

Hast du eine Frage oder Feedback?

Aufgabe 3

Weise rechnerisch nach, dass der Graph von t die Tangente an den Graphen von f im Punkt W ist

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne den Umfang dieses Dreiecks

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme den Flächeninhalt von F

Hast du eine Frage oder Feedback?

Aufgabe 4

Ermittle rechnerisch eine Gleichung für die Tangente tR

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme den Schnittpunkt der Tangente tR mit der 2. Winkelhalbierenden

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ermittle rechnerisch den Abstand, den die Tangente tR von der 1. Winkelhalbierenden hat

Hast du eine Frage oder Feedback?

Begründe, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist

Zeige: $f^{'} (x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$

Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen

Ermittle, für welche $x \in ℝ$ gilt: $f (x) < 0,1$

Zeichne in Abbildung 1 das Dreieck $N F_{u} P_{u}$ ein, das sich ergibt, wenn $P_{u}$ mit dem Hochpunkt von $f$ übereinstimmt

Untersuche, ob $P_{u}$ so auf dem Graphen von $f$ gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck $N F_{u} P_{u}$ den Flächeninhalt $2 FE$ hat

Weise rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist

Bestimme den Flächeninhalt von $F$

Ermittle rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_{R}$

Bestimme den Schnittpunkt der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden

Ermittle rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat