B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, x \in \mathbb{R}$ .

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Begründen Sie, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Begründe, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist
Gegeben ist $f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ .
Für die Nullstellen löse die Gleichung $f (x) = 0$ .
$0=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$
Weil $\mathrm{e}^{-x}\neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$\Rightarrow\;x-1=0\;\Rightarrow\;x=1$
Demnach ist $x = 1$ die einzige Nullstelle.
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Löse die Gleichung $f (x) = 0$ .
Zeigen Sie: $f^{\prime}(x)=10 \cdot(2-x) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel
Zeige: $f^{\prime}(x)=10 \cdot(2-x) \cdot \mathrm{e}^{-x}$
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
$f'(x)=10\cdot(1\cdot e^{-x}+(x-1)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot(2-x)\cdot e^{-x}$
Die erste Ableitung ist $f'(x)=10\cdot(2-x)\cdot e^{-x}$ .
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Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung.
Untersuchen Sie $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen.
$[$ Kontrolllösung: An der Stelle $x = 2$ liegt eine lokale Maximalstelle vor. $]$ (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen
Die erste Ableitung ist $f'(x)=10\cdot(2-x)\cdot e^{-x}$ .
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
$f'(x)=0\;\Rightarrow\;0 =10\cdot(2-x)\cdot e^{-x}$
Weil $\mathrm{e}^{-x}\neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$2-x=0\;\Rightarrow\;x=2$
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f''(x)\neq 0$ .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:
$f''(x)=10\cdot\left((-1)\cdot e^{-x}+(2-x)\cdot e^{-x}\cdot (-1)\right)=10\cdot(x-3)\cdot e^{-x}$
$f''(2)=10\cdot(2-3)\cdot e^{-2}=-10\cdot e^{-2}<0$
Die Funktion $f$ hat genau eine lokale Extremstelle.
Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.
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Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
Bilde die 1. Ableitung und löse die Gleichung $f'(x)=0\;\Rightarrow\;x_1$ .
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f''(x)\neq 0$ .
Bilde die 2. Ableitung und überprüfe $f^{''} (x_{1})$ .
Ermitteln Sie, für welche $x \in \mathbb{R}$ gilt: $f (x) < 0,1$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Ermittle, für welche $x \in \mathbb{R}$ gilt: $f (x) < 0,1$
Löse die Gleichung $f (x) = 0,1$ .
Der GTR-Rechner liefert die Lösungen:
$x_1\approx1{,}02795...$ und $x_2\approx6{,}26654...$ .
Betrachtet man den Graphen von $f$ , dann findet man, dass für $x<x_1\approx1{,}0280$ und für $x>x_2\approx6{,}2665$ gilt: $f (x) < 0,1$ .
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Löse mit dem GTR-Rechner die Gleichung $f (x) = 0,1$ .
Betrachte den Graphen von $f$ und entscheide, für welche x-Werte die Bedingung erfüllt ist.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Begründe, dass x=1x=1x=1 die einzige Nullstelle von fff ist

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Zeige: f′(x)=10⋅(2−x)⋅e−xf^{\prime}(x)=10 \cdot(2-x) \cdot \mathrm{e}^{-x}f′(x)=10⋅(2−x)⋅e−x

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Untersuche fff rechnerisch auf lokale Extremstellen

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Ermittle, für welche x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R gilt: f(x)<0,1f(x)<0{,}1f(x)<0,1

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Begründe, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist

Zeige: $f^{\prime}(x)=10 \cdot(2-x) \cdot \mathrm{e}^{-x}$

Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen

Ermittle, für welche $x \in \mathbb{R}$ gilt: $f (x) < 0,1$