Aufgaben zu Daten und Zufallsexperimenten

Zwei Laplace-Würfel werden nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Berechne die Wahrscheinlichkeit durch die Formel des Laplace-Experiments.

Alle möglichen Augensummen sind 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Die durch 3, 4 oder 5 teilbaren Augensummen sind 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12.

Direkter Lösungsweg

Jetzt musst du nur noch alle Ergebnisse aufschreiben und bestimmen, wie viele davon die Augensumme 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 haben. Da die Würfel nacheinander geworfen werden, kann kannst du zwischen einem ersten oder zweiten Wurf entscheiden und die Ergebnisse als $(\text{erster Wurf, zweiter Wurf})$ schreiben.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\Omega&=& \{\left(1{,}1\right);\left(1{,}2\right);\left(1{,}3\right);\left(1{,}4\right);\left(1{,}5\right);\left(1{,}6\right); \\ & & \left(2{,}1\right);\left(2{,}2\right);\left(2{,}3\right);\left(2{,}4\right);\left(2{,}5\right);\left(2{,}6\right);\\ & &\left(3{,}1\right);\left(3{,}2\right);\left(3{,}3\right);\left(3{,}4\right);\left(3{,}5\right);\left(3{,}6\right); \\ & & \left(4{,}1\right);\left(4{,}2\right);\left(4{,}3\right);\left(4{,}4\right);\left(4{,}5\right);\left(4{,}6\right); \\ & & \left(5{,}1\right);\left(5{,}2\right);\left(5{,}3\right);\left(5{,}4\right);\left(5{,}5\right);\left(5{,}6\right); \\ & & \left(6{,}1\right);\left(6{,}2\right);\left(6{,}3\right);\left(6{,}4\right);\left(6{,}5\right);\left(6{,}6\right)\} \end{array}$

$|\Omega|=6\cdot6=36$

Mit E soll die Menge bezeichnet werden, deren Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar sind.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l c c} E & = & \{ \underbrace{(1{,}2);(2{,}1);(1{,}5);(5{,}1);(2{,}4);(4{,}2);(3{,}3);(3{,}6);(6{,}3);(4{,}5);(5{,}4);(6{,}6)}_{\text{durch 3 teilbar}}; \\ & & \underbrace{(1{,}3);(3{,}1);(2{,}2);(2{,}6);(6{,}2);(3{,}5);(5{,}3);(4{,}4)}_{\text{durch 4 (aber nicht durch 3) teilbar}}; \\ &&\underbrace{(1{,}4);(4{,}1);(2{,}3);(3{,}2);(4{,}6);(6{,}4);(5{,}5)}_{\text{durch 5 teilbar}} \}\end{array}$

$\Rightarrow\left|E\right|=27$

Nun kannst du die Mächtigkeit der Menge aller günstigen Ergebnisse $\left|E\right|$ durch die Mächtigkeit der Menge aller Ergebnisse $\left|\Omega\right|$ teilen.

$P\left(E\right)=\frac{27}{36}=0{,}75$

Rechne nun noch in Prozent um.

$\;\;\Rightarrow\;\;$ zu 75 % ist die Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar.

Weiterer Lösungsweg über das Gegenereignis

Du kannst die Rechnung auch abkürzen indem du mit dem Gegenereignis rechnest. Dies bietet sich immer an, wenn die Anzahl der günstigen Ergebnisse groß ist und das Gegenereignis nur wenige Elemente enthält.

Das Ereignis $E = "\text{Augensumme ist durch 3, 4 oder 5 teilbar}"$ ist gleichbedeutend mit $"\text{Augensumme ist 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12}"$ .

Das Gegenereignis lautet $\overline{E}="\text{Augensumme ist nicht durch 3, 4 oder 5 teilbar}"$ oder eben $"\text{Augensumme ist 2{,}7 oder 11}"$ .

Da $P(E)=1-P(\overline{E})$ gilt, müssen wir nur noch $P(\overline{E})$ berechnen.

$\overline{E}=\{ \underbrace{(1{,}1)}_{\text{Augensumme 2}}; \underbrace{(1{,}6);(6{,}1);(2{,}5);(5{,}2);(3{,}4);(4{,}3)}_{\text{Augensumme 7}}; \underbrace{(5{,}6);(6{,}5)}_{\text{Augensumme 11}}\}$

$\Rightarrow|\overline{E}|=9$

Da wir oben schon berechnet haben, dass $|\Omega|=36$ ist, ist $P(\overline{E})=\frac{9}{36}$ und somit:

\displaystyle P(E)=1-P(\overline{E})=1-\frac{9}{36}=\frac{27}{36}=0{,}75=75\%

$\;\;\Rightarrow\;\;$ zu 75 % ist die Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar.

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