Berechne den geheimen Code

Bekannt sind: Eine Geschäftsführerin kennt $(\mathrm{1,5}|\mathrm{3,5}|\mathrm{6,5})$ als Koordinaten der Spitze der Pyramide. Die Koordinaten von jeweils einem Eckpunkt der Grundfläche sind $(1|1|3),$

$(1|6|3)$ und ⁣$(5|1|6)$. Die quadratische Grundfläche der Pyramide liegt in der dem System bekannten Ebene $Q:-3x_1+4x_3=9$.

Gesucht ist das Volumen einer quadratischen Pyramide $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h$.

Berechne die Länge einer Quadratseite:

Mit $A(1|1|3)$ und $B(1|6|3)$ erhält man $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)\Rightarrow |\overrightarrow{AB}|=5$

Für die Höhe berechne den Abstand der Spitze $S(\mathrm{1,5}|\mathrm{3,5}|\mathrm{6,5})$ von der Ebene $Q$:

Die Hessesche Normalform der Ebene $Q$ lautet: $Q_{HNF}:{\displaystyle \frac{-3x_1+4x_3-9}{\sqrt{(-3{)}^2+4^2}}}=0$

Für den Abstand des Punktes $S$ von der Ebene $Q$ gilt dann:

$d(S,Q)=\left|{\displaystyle \frac{(-3)\cdot \mathrm{1,5}+4\cdot \mathrm{6,5}-9}{\sqrt{(-3{)}^2+4^2}}}\right|={\displaystyle \frac{\mathrm{12,5}}{5}}=\mathrm{2,5}$

Berechne das Pyramidenvolumen: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 5^2\cdot \mathrm{2,5}\approx \mathrm{20,83}$

Damit lautet der gesuchte Code $208$.