B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Ein weiteres Unternehmen verwendet als geheimen Code die ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{I J}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ mit der Basis $\overline{I J}$ .

Zwei Mitarbeitende kennen als Teilgeheimnisse mit $I (4 ∣ 3 ∣ 2)$ bzw. $J (8 ∣ 6 ∣ - 1)$ jeweils die Koordinaten eines der beiden Endpunkte der Basis $\overline{I J}$ , ein dritter eingeweihter Mitarbeitender kennt mit $K (6 ∣ 5 ∣ 1)$ die Koordinaten der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ .

Zeigen Sie, dass $I, J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $\overline{I J}$ sind. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Zeige, dass $I, J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $\overline{I J}$ sind
Berechne die Länge der Strecken $\overline{IJ}$ , $\overline{JK}$ und $\overline{KI}$ :
$\overrightarrow{IJ}=\begin{pmatrix}8\\6\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\-3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{IJ}\right|=\sqrt{4^2+3^2+(-3)^2}=\sqrt{34}\approx5{,}831$
$\overrightarrow{JK}=\begin{pmatrix}6\\5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\6\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{JK}\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3$
$\overrightarrow{KI}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{JK}\right|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{9}=3$
Die Strecken $\overline{JK}$ und $\overline{KI}$ haben die gleiche Länge.
Das Dreieck mit der Basis $\overline{I J}$ ist gleichschenklig.
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Berechne die Länge der Strecken $\overline{IJ}$ , $\overline{JK}$ und $\overline{KI}$ und vergleiche.
Berechnen Sie den geheimen Code.
$[$ Zur Kontrolle: Der geheime Code ist 707. $]$ (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Berechne den geheimen Code
Bekannt ist, dass der geheime Code aus den ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{I J}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ mit der Basis $\overline{I J}$ besteht.
Berechne die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks:
Dazu wird die Mitte $M$ der Strecke $\overline{I J}$ benötigt.
$\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{O J}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}8\\6\\-1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}6\\4{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}$
Dann ist:
$h=\left|\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OM}\right|=\left|\begin{pmatrix}6\\5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\4{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\0{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+0{,}5^2+0{,}5^2}=\sqrt{0{,}5}$
$h=\sqrt{0{,}5}\approx0{,}707106..$
Der Code ist somit $707$ .
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Bekannt ist, dass der geheime Code aus den ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{I J}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ mit der Basis $\overline{I J}$ besteht.
Berechne die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks mithilfe der Mitte $M$ der Strecke $\overline{I J}$ $\;\Rightarrow\;h=|\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OM}|$ .
Lies die ersten drei Nachkommastellen ab.
Der Punkt $L (6 ∣ 4 ∣ 0)$ ergibt sich durch Spiegelung des Punktes $K$ an der Geraden $I J$
$[$ Ein Nachweis ist nicht erforderlich $]$ . Mit den Koordinaten von $L$ kann ein anderer Mitarbeitender zusammen mit den Mitarbeitenden, die die Koordinaten von $I$ und $J$ kennen, den geheimen Code ermitteln.
Ein weiterer Mitarbeitender soll die Koordinaten eines Punktes $P$ erhalten, der wie $K$ bzw. $L$ zusammen mit den Punkten $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $I J P$ mit der Basis $\overline{I J}$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I, J$ und $P$ soll sich in gleicher Weise wie oben beschrieben der in b) berechnete geheime Code ergeben.
(i) Beschreiben Sie die Lage geeigneter Punkte.
(ii) Aus Sicherheitsgründen sollen sich die Koordinaten des Punktes $P$ von den Koordinaten der beiden Punkte $K$ und $L$ unterscheiden.
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $P$ .
$[$ Hinweis: Die Koordinaten des Punktes $P$ müssen nicht ganzzahlig sein. $]$
(5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalenvektor – Umwandeln von Ebenendarstellungen
(i) Beschreibe die Lage geeigneter Punkte
Betrachte eine Ebene $E$ , die den Punkt $M$ enthält und senkrecht zur Strecke $\overline{I J}$ verläuft. (Die Gerade $g_{IJ}$ ist eine Lotgerade der Ebene $E$ .)
Alle Punkte in der Ebene $E$ , die auf einem Kreis mit dem Radius $r = 0,707$ um den Punkt $M$ liegen, sind geeignete Punkte.
(ii) Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $P$
Gesucht ist ein Vektor $\vec u$ , der senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{IJ}=\begin{pmatrix}4\\3\\-3\end{pmatrix}$ steht.
Der Vektor $\vec u$ darf nicht parallel zum Vektor $\overrightarrow{MK}=\begin{pmatrix}0\\0{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}$ verlaufen.
Z.B. ist $\vec u=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$ ein geeigneter Vektor, denn $\vec u\nparallel \overrightarrow{MK}$ und $\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}4\\3\\-3\end{pmatrix}=0$ .
Berechne von $\vec u$ den Einheitsvektor mit der Länge 1:
$\vec u^0=\dfrac{1}{|\vec u|}\vec u=\dfrac{1}{\sqrt{(-3)^2+4^2+0^2}}\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}$
Damit vom Punkt $M$ ausgehend mithilfe des Einheitsvektors $\vec u^0$ ein Punkt $P$ auf dem unter (i) beschriebenen Kreis mit dem Radius $r = 0,707$ erreicht wird, muss folgende Vektorgleichung gelten:
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+0{,}707\cdot \vec u^0=\begin{pmatrix}6\\4{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}+0{,}707\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6{,}4242\\4{,}5\\1{,}0656\end{pmatrix}$
Ein geeigneter Punkt $P$ hat die Koordinaten $P (6,4242 ∣ 4,5 ∣ 1,0656)$ .
Anmerkung: Wählt man für den Vektor $\vec u$ andere Koordinaten, z.B. $\vec u=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}$ , so erhält man auch andere Koordinaten für den Punkt $P$ .
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(i)
Betrachte eine Ebene $E$ , die den Punkt $M$ enthält und senkrecht zur Strecke $\overline{I J}$ verläuft.
Alle Punkte auf einem Kreis, mit Radius $h$ (siehe i) um $M$ in der Ebene $E$ , sind geeignet.
(ii)
Gesucht ist ein Vektor $\vec u$ , der senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{IJ}$ steht.
Berechne den Einheitsvektor $\vec u^0$ von $\vec u$ .
Damit vom Punkt $M$ ausgehend mithilfe des Einheitsvektors $\vec u^0$ ein Punkt $P$ auf dem unter (i) beschriebenen Kreis mit dem Radius $h$ erreicht wird, muss eine Vektorgleichung aufgestellt und berechnet werden.

Aufgabe 3

Zeige, dass I,JI, JI,J und KKK die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis IJ‾\overline{I J}IJ sind

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Berechne den geheimen Code

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(i) Beschreibe die Lage geeigneter Punkte

(ii) Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes PPP

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Zeige, dass $I, J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $\overline{I J}$ sind

(ii) Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $P$