Wahlteil B

Wie viele der befragten Personen achten beim Kauf auf den Preis?

Rechnerischen Begründung.

Ausmessen der Winkel der Sektoren mit dem Winkelmesser.

Gemessene Werte:

Sektor Preis: $195°$

Sektor Marke: $135°$

Berechnen der Anzahl der Personen, die auf den Preis achten, mithilfe des Dreisatzes.

$135°\widehat{=}270\Rightarrow 1°\widehat{=}{\displaystyle \frac{270}{135}}=2$

$1°\widehat{=}2\text{Personen}\Rightarrow 195°\widehat{=}195\cdot 2=390\text{Personen}$

Also achten $390$ der befragten Personen beim Einkaufen auf den Preis.

Berechnen der Kosten des Zaunes.

Messen der Längen der gestrichelten Linien und addieren der gemessenen Längen :

$8\text{ cm}+5\text{ cm}+\mathrm{2,5}\text{ cm}+2\text{ cm}=\mathrm{17,5}\text{ cm}$

Berechnen mithilfe des Maßstabs die Länge der gestrichelten Linie in Wirklichkeit.

$\mathrm{17,5}\text{ cm}\cdot 500=8750\text{ cm}=\mathrm{87,50}\text{ m}$

Dividieren der Länge des Zaunes durch die Länge eines Zaunstückes.

$\mathrm{87,50}:\mathrm{2,50}=35$

Berechnen der Kosten für den Zaun.

$35\cdot \mathrm{62,50}=\mathrm{2187,50}€$

Die Kosten für den Zaun betragen: $\mathrm{2187,50}€$.

Stecken der Teile, damit eine größtmögliche viereckige Fläche entsteht.

Die größtmögliche Fläche bei einem Viereck ist immer ein Quadrat.

Jede Seite muss also $10$ Zaunelemente haben.

Berechnen des Flächeninhalts von Dachform 1.

Die Dachform 1 hat die Form eines regelmäßigen 8-Ecks.

Dieses 8-Eck ist in 8 gleichschenklige Dreiecke zerlegt.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{g}\cdot \mathrm{h}}{2}}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{g}=2\text{ m};\mathrm{h}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,82}}{2}}=\mathrm{2,41}\text{ m}$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel.

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{2,41}}{2}}$

$\underline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{2,41}{\text{ m}}^2}$

Berechnen des Flächeninhalts von Dachform 1.

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}1}={\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}\cdot 8\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}1}=\mathrm{2,41}\cdot 8$

$\underline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}1}=\mathrm{19,28}{\text{ m}}^2}$

Berechnen der Länge $\text{x}$ von Dachform 2.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{z}}={\displaystyle \frac{({\mathrm{g}}_1+{\mathrm{g}}_2)}{2}}\cdot \mathrm{h}$

Für den Flächeninhalt von Dachform 2 gilt dann:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{z}}={\displaystyle \frac{(2+5)}{2}}\cdot \mathrm{x}{\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{z}}=\mathrm{19,28}{\text{ m}}^2$ (siehe Aufgabenstellung)

Auflösen der Formel nach $\text{x}$.

$2\cdot \mathrm{19,28}=7\mathrm{x}|:7$ und Seiten tauschen

$\underline{\underline{\mathrm{x}=\mathrm{5,51}\text{ m}}}$

Die Länge $\text{x}$ der Dachform 2 beträgt ca.: $\mathrm{5,5}\text{ m}$.

Berechnen der zusammengesetzten Fläche.

Die zusammengesetzte Fläche besteht aus einem gleichschenkligem Trapez und einem Rechteck.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{z}}={\displaystyle \frac{({\mathrm{g}}_1+{\mathrm{g}}_2)}{2}}\cdot \mathrm{h}$

Berechnen der Höhe $\text{h}$ des Trapezes mithilfe des Satzes des Pythagoras.

${\mathrm{5,8}}^2={\mathrm{b}}^2+{\mathrm{h}}^2\Rightarrow \mathrm{h}=\sqrt{{\mathrm{5,8}}^2-{\mathrm{b}}^2}\mathrm{b}={\displaystyle \frac{(22-16)}{2}}\Rightarrow \mathrm{b}=3\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\mathrm{h}=\sqrt{{\mathrm{5,8}}^2-3^2}\Rightarrow \mathrm{h}=\sqrt{\mathrm{24,64}}$

$\underline{\mathrm{h}\approx 5\mathrm{c}\mathrm{m}}$

Berechnen des Flächeninhalts des Trapezes.

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{z}}={\displaystyle \frac{(22+16)}{2}}\cdot 5\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{z}}=19\cdot 5$

$\underline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{z}}\approx 95\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2}$

Berechnen des Flächeninhalts des Rechtecks.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{l}\cdot \mathrm{b}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{l}=22\mathrm{c}\mathrm{m};\mathrm{b}=\mathrm{14,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=22\cdot \mathrm{14,5}$

$\underline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{319,0}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2}$

Der Flächeninhalt der zusammengesetzten Fläche ist dann:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}={\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{z}}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}\approx 95+\mathrm{319,0}$

$\underline{\underline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}\approx 414\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2}}$

Der Flächeninhalt der zusammengesetzten Fläche beträgt ca. $414{\text{ cm}}^2$.

Berechnen des Zinsunterschiedes der Angebote von Bank A und Bank B.

Bank A:

Beim Angebot von Bank A bleibt der Zinssatz über die 3 Jahre gleich, die Zinsen werden mitverzinst.

Berechnen der Zinsen mithilfe der Formel zur Berechnung des Zinseszins.

Die Formel zur Berechnung des Zinseszins lautet:

${\mathrm{K}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{K}}_0\cdot {(1+{\displaystyle \frac{\mathrm{P}}{100}})}^{\mathrm{n}}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{n}=3;{\mathrm{K}}_0=1850€;\mathrm{p}=\mathrm{0,9}\%$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel.

${\mathrm{K}}_3=1850\cdot {(1+{\displaystyle \frac{\mathrm{0,9}}{100}})}^3\Rightarrow {\mathrm{K}}_3=1850\cdot {\mathrm{1,009}}^3$

$\underline{{\mathrm{K}}_3=\mathrm{1900,40}€}$

Nach 3 Jahren ist Kims Kapital bei Bank A auf $\mathrm{1900,40}€$ angewachsen.

Angebot B:

Beim Angebot von Bank B ändert sich der Zinssatz von Jahr zu Jahr, aber auch hier werden die Zinsen mitverzinst.

Berechnen der Zinsen mithilfe der Formel zur Berechnung des Zinseszins.

(Formel siehe oben)

Guthaben 1. Jahr

${\mathrm{K}}_1=1850\cdot (1+{\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}}{100}})\Rightarrow {\mathrm{K}}_1=1850\cdot \mathrm{1,004}$

$\underline{{\mathrm{K}}_1=\mathrm{1857,40}€}$

Guthaben 2. Jahr

${\mathrm{K}}_2=\mathrm{1857,40}\cdot (1+{\displaystyle \frac{\mathrm{1,1}}{100}})\Rightarrow {\mathrm{K}}_2=\mathrm{1857,40}\cdot \mathrm{1,011}$

$\underline{{\mathrm{K}}_2=\mathrm{1877,83}€}$

Guthaben 3. Jahr

${\mathrm{K}}_3=\mathrm{1877,83}\cdot (1+{\displaystyle \frac{\mathrm{1,3}}{100}})\Rightarrow {\mathrm{K}}_3=\mathrm{1877,83}\cdot \mathrm{1,013}$

$\underline{{\mathrm{K}}_3=\mathrm{1902,24}€}$

Nach 3 Jahren ist Kims Kapital bei Bank B auf $\mathrm{1902,24}€$ angewachsen.

Der Zinsunterschied ist die Differenz der Endguthaben, nämlich:

$\mathrm{1902,24}€-\mathrm{1900,40}€=\mathrm{1,84}€$

Nach 3 Jahren erhält Kim bei Bank B $\mathrm{1,84}€$ mehr Zinsen als bei Bank A.

Zeichnen des Dreiecks.

Erklärung zum Zeichen des Dreiecks.

Zeichne die Seite $\mathrm{a}=10\text{ cm}$.

Trage den Winkel $\mathrm{\beta }=34°$ am Eckpunkt $\text{B}$ an, zeichne eine Hilfslinie (Halbgerade).

Trage den Winkel $\mathrm{\gamma }=56°$ am Eckpunkt $\text{C}$ an, zeichne eine Hilfslinie (Halbgerade).

Die zwei Halbgeraden schneiden sich im Punkt $\text{A}$.

Beschrifte das Dreieck entsprechend.

Berechnen des Winkels $\mathrm{\delta }$.

Das farbige Teildreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck.

In diesem Dreieck gilt:

$\mathrm{\alpha }=\mathrm{\beta }={\displaystyle \frac{60°}{2}}=30°$ (siehe Aufgabenstellung).

Da die Winkelsumme im Dreieck $180°$ ist, gilt:

$\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta }+\mathrm{\delta }=180°\Rightarrow \mathrm{\delta }=180°-(\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta })$

$\mathrm{\delta }=180°-(30°+30°)$

$\underline{\underline{\mathrm{\delta }=120°}}$

Der Winkel $\mathrm{\delta }$ beträgt: $120°$.