Begründe, dass die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $x_2$-Achse verläuft

Gegeben sind die Punkte $A(2|-3|1)$ und $B(2|3|1)$.

Bei $A$ und bei $B$ sind die $x_1$- und $x_3$- Koordinaten identisch, daher verläuft die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $x_2$-Achse.

Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punktes $C$ haben

Ein Punkt $C$ auf der $x_2$-Achse hat die Koordinaten $C(0|c|0)$.

Gefordert ist: Die Gerade durch $A$ und $C$ steht senkrecht zur Geraden durch $B$ und $C$.

Demnach muss der Vektor $\overrightarrow{CA}$ senkrecht zum Vektor $\overrightarrow{CB}$ sein. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist dann gleich null.

$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ c\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -3-c\\ 1\end{array}\right)$

$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ c\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3-c\\ 1\end{array}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{CA}\circ \overrightarrow{CB}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3-c\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 3-c\\ 1\end{array}\right)=0$

$\Rightarrow 2\cdot 2+(-3-c)\cdot (3-c)+1\cdot 1=0\Rightarrow 5-(3+c)\cdot (3-c)=0$

$\Rightarrow 5-(3^2-c^2)=0\Rightarrow 5-9+c^2=0\Rightarrow c^2=4$

Die Gleichung $c^2=4$ hat die beiden Lösungen $c=-2\vee c=2$.

Demnach gibt es zwei Punkte, mit den Koordinaten $C_1(0|-2|0)$ und $C_2(0|2|0)$, die die geforderten Eigenschaften haben.