A1

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f(x)=x^4-k\cdot x^2$ , wobei $k$ eine positive reelle Zahl ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ .
Abbildung 1
1. Zeigen Sie, dass $f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Zeige, dass $f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist
  Gegeben ist $f(x)=x^4-k\cdot x^2$ .
  Dann ist $f'(x)=4\cdot x^3-2\cdot k \cdot x=2x\cdot(2x^2-k)$ .
  Es ist also $f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)$ .
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  Leite $f (x)$ ab.
2. Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ haben jeweils die y-Koordinate $- 1$ .
  Ermitteln Sie den Wert von $k$ . (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Ermittele den Wert von $k$
  Es ist $f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)$ .
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet $f^{'} (x) = 0$ .
  $\Rightarrow\;0=2x\cdot(2x^2-k)$
  Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
  $x=0\vee x=\pm\sqrt{\dfrac{k}{2}}$
  Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ haben jeweils die y-Koordinate $- 1$ , d.h. auf die hinreichende Bedingung kann verzichtet werden.
  Zu den beiden Tiefpunkte gehören die Extremstellen $x=\pm\sqrt{\dfrac{k}{2}}$ .
  Für $k > 0$ gilt: $f\left(\sqrt{\dfrac{k}{2}}\right)=-1\;\Rightarrow\;\left(\sqrt{\dfrac{k}{2}}\right)^4-k\cdot \left(\sqrt{\dfrac{k}{2}}\right)^2=-1$
  $\Rightarrow\;\dfrac{k^2}{4}-\dfrac{k^2}{2}=-1\;\Rightarrow\;-\dfrac{k^2}{4}=-1\Rightarrow\;k^2=4\;\Rightarrow\; k=2$ .
  Der gesuchte Wert von $k$ ist $k = 2$ .
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  Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet $f^{'} (x) = 0$ .
  Bestimme die Extremstellen $x_{E}$ .
  Die Tiefpunkte liegen nicht bei $x = 0$ .
  Löse die Gleichung $f (x_{E}) = - 1$ nach $k$ auf. Beachte $k > 0$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Funktion $f$ ist gegeben durch $f(x)=-x^3+9x^2-23x+15, x \in \mathbb{R}$ .
Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion zur Funktion $f$ .
Der Graph von $f$ ist in Abbildung 2 dargestellt.
Abbildung 2
1. Interpretieren Sie die Aussage $F (5) - F (1) = 0$ in Bezug auf den Graphen von $f$ .
  (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Interpretiere die Aussage $F (5) - F (1) = 0$ in Bezug auf den Graphen von $f$
  Die Fläche, die im Intervall $[1; 3]$ vom Graphen von $f$ und der x-Achse eingeschlossen wird, ist genauso groß wie die Fläche, die im Intervall $[3; 5]$ vom Graphen von $f$ und der x-Achse eingeschlossen wird
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  Betrachte die Flächen unterhalb und oberhalb der x-Achse.
2. Berechnen Sie $\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm{d}x$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Berechne $\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm{d}x$
  Es ist $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 23 x + 15$ .
  Dann ist $F(x)=-\dfrac{1}{4}x^4+3x^3-\dfrac{23}{2}x+15x$ eine Stammfunktion von $f$ .
  $\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm{d}x=F(1)-F(0)=\left(-\dfrac{1}{4}+3-\dfrac{23}{2}+15\right)-(0)=18-\dfrac{47}{4}=\dfrac{25}{4}$
  Ergebnis: $\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm{d}x=\dfrac{25}{4}$ .
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  Ermittele eine Stammfunktion von $f$ .
  Berechne $\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm{d}x=F(1)-F(0)$ .
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\left(x^{2}+2 x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x+4}$ mit $x \in \mathbb{R}$ .
Der Graph von $f$ ist in Abbildung 3 dargestellt.
Abbildung 3
1. Die Funktion $f$ besitzt genau zwei Extremstellen.
  Ermitteln Sie die beiden Extremstellen von $f$ .
  $[$ Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist nicht erforderlich. $]$ (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  Ermittle die beiden Extremstellen von $f$ .
  Berechne die 1. Ableitung:
  $f'(x)=(2x+2)\cdot e^{-x+4}+\left(x^{2}+2 x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x+4}\cdot (-1)=(-x^2+2)\cdot\mathrm{e}^{-x+4}$ .
  Die notwendige Bedingung ist $f^{'} (x) = 0$ .
  $\Rightarrow\;0=(-x^2+2)\cdot\mathrm{e}^{-x+4}$
  Wegen $\mathrm{e}^{-x+4}\neq 0$ für alle $x\in \mathbb{R}$ ist $- x^{2} + 2 = 0$ .
  $\Rightarrow\;x=-\sqrt{2}\vee x=\sqrt{2}$
  Da die Funktion $f$ genau zwei Extremstellen besitzt, sind die beiden Extremstellen $x=-\sqrt{2}$ und $x=\sqrt{2}$ .
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  Berechne die 1. Ableitung.
  Die notwendige Bedingung ist $f^{'} (x) = 0$ . Löse die Gleichung nach $x$ auf.
2. Skizzieren Sie in Abbildung 3 den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $f$ .
  $[$ Hinweis: Die Größe der $y$ -Werte kann dabei unberücksichtigt bleiben. $]$ (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
  Graphen von $f$ und von $f^{'}$
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4
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Für jedes $a \in \mathbb{R}$ ist durch die Gleichung $f_{a}(x)=\frac{1}{2}(x+2)(3 x+a)^{2} \mathrm{e}^{x}, x \in \mathbb{R}$ , eine Funktion $f_{a}$ gegeben.
In Abbildung 4 ist der Graph der Funktion $f_{a}$ für $a = 0$ abgebildet.
Abbildung 4
1. Es gibt genau einen Wert von $a$ , sodass die Funktion $f_{a}$ nur eine Nullstelle besitzt.
  Ermitteln Sie diesen Wert von $a$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Ermittle diesen Wert von $a$
  Gegeben ist $f_{a}(x)=\frac{1}{2}(x+2)(3 x+a)^{2} \mathrm{e}^{x}$ .
  Berechne die Nullstellen:
  Löse die Gleichung $f (x) = 0$ :
  $0=\frac{1}{2}(x+2)(3 x+a)^{2} \mathrm{e}^{x}$
  Wegen $\mathrm{e}^{x}\neq 0$ für alle $x\in \mathbb{R}$ ist $x + 2 = 0$ oder $(3 x + a)^{2} = 0$ (Satz vom Nullprodukt).
  $\Rightarrow\;x=-2\vee x=-\dfrac{a}{3}$
  Die Funktion $f_{a}$ darf nur eine Nullstelle besitzen, d.h. $-\dfrac{a}{3}=-2\;\Rightarrow\;a=6$ .
  Für $a = 6$ hat der Graph von $f_{6} (x)$ nur eine Nullstelle.
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  Berechne die Nullstellen, d.h. löse die Gleichung $f (x) = 0$ $\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$ .
  Die Funktion $f_{a}$ darf nur eine Nullstelle besitzen $\;\Rightarrow\;x_1=x_2$ .
  Löse diese Gleichung nach $a$ auf.
2. Ermitteln Sie, für welche Werte von $a$ der Punkt $P\left(3 \mid 90 \mathrm{e}^{3}\right)$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Gegeben ist der Punkt $P\left(3 \mid 90 \mathrm{e}^{3}\right)$ .
  $\Rightarrow\; 90 \mathrm{e}^{3}=\frac{1}{2}(3+2)(3 \cdot 3+a)^{2} \mathrm{e}^{3}=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot(9+a^2)\cdot\mathrm{e}^{3}$
  Der Koeffizientenvergleich liefert die Gleichung $90=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot(9+a^2)$ .
  $\Rightarrow\;36=(9+a)^2\;\Rightarrow\;a_{1{,}2}=-9\pm 6\;\Rightarrow\; a=-15\vee a=-3$
  Für $a = - 15$ oder $a = - 3$ liegt der Punkt $P$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ .
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  Setze die Koordinaten des Punktes $P$ in $f_{a} (x)$ ein und löse die Gleichung nach $a$ auf.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 5
Betrachtet werden die Ebene $E: x_{1}-x_{2}+x_{3}-3=0$ und für $a \in \mathbb{R}$ die Gerade $g_{a}: \vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2 \\ 1+a \\ 2\end{pmatrix}$ mit $s \in \mathbb{R}$ .
1. Bestimmen Sie, denjenigen Wert von $a$ , für den die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ steht. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Bestimme, denjenigen Wert von $a$ , für den die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ steht
  Wenn die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ stehen soll, dann muss der Richtungsvektor der Geraden $\vec u=\begin{pmatrix}2 \\ 1+a \\ 2\end{pmatrix}$ parallel zum Normalenvektor $\vec n=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ der Ebene sein, d.h. die beiden Vektoren sind Vielfache voneinander.
  $\Rightarrow\;\begin{pmatrix}2 \\ 1+a \\ 2\end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$
  Gleichung $\mathrm{I}$ und Gleichung $\mathrm{III}$ liefern $r = 2$ .
  Eingesetzt in Gleichung $\mathrm{II}$ :
  $\Rightarrow\;1+a=2\cdot(-1)=-2\;\Rightarrow\;a=-3$
  Für $a = - 3$ steht die Gerade $g_{- 3}$ senkrecht zu $E$ .
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  Wenn die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ stehen soll, dann muss der Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden parallel zum Normalenvektor $\vec n$ der Ebene sein.
  Löse die Gleichung $\vec u=r\cdot \vec n$ nach $a$ auf.
2. Untersuchen Sie, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Untersuche, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegt
  Wenn die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegen soll, dann muss der Richtungsvektor der Geraden $\vec u=\begin{pmatrix}2 \\ 1+a \\ 2\end{pmatrix}$ senkrecht zum Normalenvektor $\vec n=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ der Ebene sein, d.h. das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muss gleich null sein.
  $\begin{pmatrix}2 \\ 1+a \\ 2\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}=0\;\Rightarrow\;2\cdot 1+(1+a)\cdot(-1)+2\cdot1=0$
  $\Rightarrow\;4=1+a\;\Rightarrow\;a=3$
  Zunächst ist nur gezeigt, dass für $a = 3$ die Gerade $g_{3}$ parallel zu $E$ ist.
  Wenn die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegen soll, muss es einen Punkt $P\in g_{3}$ geben, der auch in $E$ liegt. Der Aufpunkt der Geraden $g_{3}$ sollte in $E$ liegen.
  Setze $(1 ∣ - 2 ∣ 0)$ in $E: x_{1}-x_{2}+x_{3}-3=0$ ein:
  $1-(-2)+0-3=0\;\Rightarrow\;3-3=0\;\checkmark$
  Die Gerade $g_{3}$ liegt demnach in der Ebene $E$ .
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  Wenn die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegen soll, dann muss der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene sein, d.h. das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muss gleich null sein $\;\Rightarrow\; a_1$ .
  Damit ist gezeigt, dass für $a_{1}$ die Gerade $g_{a_1}$ parallel zu $E$ ist.
  Wenn die Gerade $g_{a_1}$ in $E$ liegen soll, muss es einen Punkt $P\in g_{a_1}$ geben, der auch in $E$ liegt. Der Aufpunkt der Geraden $g_{a_1}$ sollte in $E$ liegen. Überprüfe!
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 6
Gegeben sind die Punkte $A (2 ∣ - 3 ∣ 1)$ und $B (2 ∣ 3 ∣ 1)$ .
1. Begründen Sie, dass die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $x_{2}$ -Achse verläuft. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Koordinatensystem
  Begründe, dass die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $x_{2}$ -Achse verläuft
  Gegeben sind die Punkte $A (2 ∣ - 3 ∣ 1)$ und $B (2 ∣ 3 ∣ 1)$ .
  Bei $A$ und bei $B$ sind die $x_{1}$ - und $x_{3}$ - Koordinaten identisch, daher verläuft die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $x_{2}$ -Achse.
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  Betrachte die $x_{1}$ - und $x_{3}$ - Koordinaten der beiden Punkte.
2. Der Punkt $C$ liegt auf der $x_{2}$ -Achse. Die Gerade durch $A$ und $C$ steht senkrecht zur Geraden durch $B$ und $C$ .
  Bestimmen Sie die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punktes $C$ haben. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punktes $C$ haben
  Ein Punkt $C$ auf der $x_{2}$ -Achse hat die Koordinaten $C (0 ∣ c ∣ 0)$ .
  Gefordert ist: Die Gerade durch $A$ und $C$ steht senkrecht zur Geraden durch $B$ und $C$ .
  Demnach muss der Vektor $\overrightarrow{CA}$ senkrecht zum Vektor $\overrightarrow{CB}$ sein. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist dann gleich null.
  $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\c\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-3-c\\1\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\c\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3-c\\1\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\;\overrightarrow{CA}\circ \overrightarrow{CB}=\begin{pmatrix}2\\-3-c\\1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2\\3-c\\1\end{pmatrix}=0\;$
  $\Rightarrow\;2\cdot2+(-3-c)\cdot(3-c)+1\cdot 1=0\;\Rightarrow\;5-(3+c)\cdot(3-c)=0$
  $\Rightarrow\;5-(3^2-c^2)=0\;\Rightarrow\;5-9+c^2=0\;\Rightarrow\;c^2=4$
  Die Gleichung $c^{2} = 4$ hat die beiden Lösungen $c=-2\vee c=2$ .
  Demnach gibt es zwei Punkte, mit den Koordinaten $C_{1} (0 ∣ - 2 ∣ 0)$ und $C_{2} (0 ∣ 2 ∣ 0)$ , die die geforderten Eigenschaften haben.
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  Ein Punkt $C$ auf der $x_{2}$ -Achse hat die Koordinaten $C (0 ∣ c ∣ 0)$ .
  Gefordert ist: Die Gerade durch $A$ und $C$ steht senkrecht zur Geraden durch $B$ und $C$ .
  Der Vektor $\overrightarrow{CA}$ muss senkrecht zum Vektor $\overrightarrow{CB}$ sein. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist dann gleich null.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

A1

Aufgabe 1

Zeige, dass f′(x)=2x⋅(2x2−k)f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)f′(x)=2x⋅(2x2−k) eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von fff ist

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Ermittele den Wert von kkk

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Aufgabe 2

Interpretiere die Aussage F(5)−F(1)=0F(5)-F(1)=0F(5)−F(1)=0 in Bezug auf den Graphen von fff

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Berechne ∫01f(x) dx\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm{d}x∫01​f(x)dx

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Aufgabe 3

Ermittle die beiden Extremstellen von fff.

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Aufgabe 4

Ermittle diesen Wert von aaa

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Aufgabe 5

Bestimme, denjenigen Wert von aaa, für den die Gerade gag_{a}ga​ senkrecht zu EEE steht

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Untersuche, ob es einen Wert von aaa gibt, für den die Gerade gag_{a}ga​ in EEE liegt

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Aufgabe 6

Begründe, dass die Gerade durch AAA und BBB parallel zur x2x_{2}x2​-Achse verläuft

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Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punktes CCC haben

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Zeige, dass $f'(x)=2x\cdot(2x^2-k)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist

Ermittele den Wert von $k$

Interpretiere die Aussage $F (5) - F (1) = 0$ in Bezug auf den Graphen von $f$

Berechne $\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm{d}x$

Ermittle die beiden Extremstellen von $f$ .

Ermittle diesen Wert von $a$

Bestimme, denjenigen Wert von $a$ , für den die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ steht

Untersuche, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegt

Begründe, dass die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $x_{2}$ -Achse verläuft

Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punktes $C$ haben