A1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 6

Gegeben sind die Punkte $A (2 ∣ - 3 ∣ 1)$ und $B (2 ∣ 3 ∣ 1)$ .

Begründen Sie, dass die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $x_{2}$ -Achse verläuft. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Koordinatensystem
Begründe, dass die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $x_{2}$ -Achse verläuft
Gegeben sind die Punkte $A (2 ∣ - 3 ∣ 1)$ und $B (2 ∣ 3 ∣ 1)$ .
Bei $A$ und bei $B$ sind die $x_{1}$ - und $x_{3}$ - Koordinaten identisch, daher verläuft die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $x_{2}$ -Achse.
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Betrachte die $x_{1}$ - und $x_{3}$ - Koordinaten der beiden Punkte.
Der Punkt $C$ liegt auf der $x_{2}$ -Achse. Die Gerade durch $A$ und $C$ steht senkrecht zur Geraden durch $B$ und $C$ .
Bestimmen Sie die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punktes $C$ haben. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punktes $C$ haben
Ein Punkt $C$ auf der $x_{2}$ -Achse hat die Koordinaten $C (0 ∣ c ∣ 0)$ .
Gefordert ist: Die Gerade durch $A$ und $C$ steht senkrecht zur Geraden durch $B$ und $C$ .
Demnach muss der Vektor $\overrightarrow{CA}$ senkrecht zum Vektor $\overrightarrow{CB}$ sein. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist dann gleich null.
$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\c\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-3-c\\1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\c\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3-c\\1\end{pmatrix}$
$\Rightarrow\;\overrightarrow{CA}\circ \overrightarrow{CB}=\begin{pmatrix}2\\-3-c\\1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2\\3-c\\1\end{pmatrix}=0\;$
$\Rightarrow\;2\cdot2+(-3-c)\cdot(3-c)+1\cdot 1=0\;\Rightarrow\;5-(3+c)\cdot(3-c)=0$
$\Rightarrow\;5-(3^2-c^2)=0\;\Rightarrow\;5-9+c^2=0\;\Rightarrow\;c^2=4$
Die Gleichung $c^{2} = 4$ hat die beiden Lösungen $c=-2\vee c=2$ .
Demnach gibt es zwei Punkte, mit den Koordinaten $C_{1} (0 ∣ - 2 ∣ 0)$ und $C_{2} (0 ∣ 2 ∣ 0)$ , die die geforderten Eigenschaften haben.
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Ein Punkt $C$ auf der $x_{2}$ -Achse hat die Koordinaten $C (0 ∣ c ∣ 0)$ .
Gefordert ist: Die Gerade durch $A$ und $C$ steht senkrecht zur Geraden durch $B$ und $C$ .
Der Vektor $\overrightarrow{CA}$ muss senkrecht zum Vektor $\overrightarrow{CB}$ sein. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist dann gleich null.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 6

Begründe, dass die Gerade durch AAA und BBB parallel zur x2x_{2}x2​-Achse verläuft

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Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punktes CCC haben

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Begründe, dass die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $x_{2}$ -Achse verläuft

Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punktes $C$ haben