Wahlteil B - lernen mit Serlo!

Im Rechteck $A B C D$ liegt das Drachenviereck $E G C F$ .
Es gilt:
$\begin{aligned} A B & = 9,4 c m \\ B E & = 5,6 c m \\ ε & = {20,0}^{\circ} \end{aligned}$
Berechne den Winkel $φ$ . Berechne den Umfang des Vierecks $A E F D$ .
[5 Pkte]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Berechnen des Winkels $φ$ .
Berechnen von $α$ :
$\begin{array}{l} α = 90 ° - ϵ \\ α = 90 ° - 20 ° \\ α = 70 ° \end{array}$
Berechnen von $β$ :
$\begin{array}{l} β = 180 ° - α \\ β = 180 ° - 70 ° \\ β = 110 ° \end{array}$
$β = γ$ wegen Achsensymmetrie des Drachenvierecks.
Der Winkel $φ$ ist dann:
$\begin{array}{l} φ = 180 ° - 110 ° \\ φ = 70 ° \end{array}$
Berechnen des Umfangs des Vierecks $AEFD$ .
Umfang des Vierecks $AEFD$ :
$U_{A E F D} = A E + E F + F H + D H + A D$
$\begin{array}{l} A E = A B - B E \\ A E = 9,4 - 5,6 \\ A E = 3,8 cm \end{array}$
$E G = E F$ und $B E = E H$ wegen Achsensymmetrie des Drachenvierecks.
Wir berechnen $E G$ mithilfe des Kosinus.
$\cos ϵ = \frac{B E}{E G} \Rightarrow E G = \frac{B E}{\cos ϵ}$
$E G = \frac{5,6}{c o s 20 °}$
$E G = \frac{5,6}{0,9397}$
$E G = 5,96 cm$
Jetzt müssen wir noch $F H$ berechnen, dann können wir den Umfang
des Vierecks $AEFD$ berechnen.
Wir berechnen $F H$ mithilfe des Tangens.
$\cos φ = \frac{F H}{E F} \Rightarrow F H = E F \cdot \cos φ$
$F H = 5,96 \cdot \cos 70 °$
$F H = 5,96 \cdot 0,3420$
$F H \approx 2,04 cm$
$U_{A E F D} = 3,8 + 5,96 + 2,04 + 3,8 + 5,6$
$U_{A E F D} = 21,2 cm$
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Berechne den Winkel $α$ .
Berechne den Winkel $β$ .
Berechne den Winkel $γ$ .
Berechne den Winkel $φ$ .
Berechne den Umfang des Vierecks $AEFD$ .
Die Parabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ sind zwei nach oben geöffnete verschobene Normalparabeln. Die Parabel $p_{1}$ hat den Scheitelpunkt $S_{1} (1 | 1)$ . Die Parabel $p_{2}$ schneidet die $x$ -Achse in den Punkten $N_{1} (- 6 | 0)$ und $N_{2} (- 2 | 0)$ . Bestimme die Funktionsgleichungen von $p_{1}$ und $p_{2}$ .
Die Gerade $g$ verläuft durch den Scheitelpunkt $S_{1}$ und den Punkt $A (2 | - 1)$ . Berechne die Funktionsgleichung von $g$ .
Der Punkt $S_{2}$ ist der Scheitelpunkt der Parabel $p_{2}$ . Berechne die Entfernung zwischen $S_{1}$ und $S_{2}$ .
Milo behauptet: „Die Parabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ sowie die Gerade $g$ schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt."
Überprüfe diese Behauptung. Begründe deine Antwort rechnerisch.
[5 Pkte]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen - Parabeln
Bestimmen der Funktionsgleichungen von $p_{1}$ und $p_{2}$ .
Bestimmen der Funktionsgleichung von $p_{1}$ .
Die allgemeine Scheitelform lautet:
$f (x) = a (x - d)^{2} + e$
Folgende Werte sind aus der Aufgabenstellung bekannt:
$d = 1$
$e = 1$
$a = 1$ (da es sich hier um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt)
Einsetzen der bekannten Werte in die allgemeine Scheitelform:
$p_{1} (x) = (x - 1)^{2} + 1$ ausmultiplizieren
$p_{1} (x) = x^{2} - 2 x + 2$
Bestimmen der Funktionsgleichng von $p_{2}$ .
Die allgemeine Linearfaktordarstellung lautet:
$f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
Folgende Werte sind aus der Aufgabenstellung bekannt:
$x_{1} = - 6$
$x_{2} = - 2$
$a = 1$ (da es sich hier um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt)
Einsetzen der bekannten Werte in die allgemeine Linearfaktordarstellung:
$p_{2} (x) = (x + 6) (x + 2)$ ausmultiplizieren
$p_{2} (x) = x^{2} + 8 x + 12$
Berechnen der Funktionsgleichung von $g$ .
Die allgemeine Geradengleichung lautet:
$y = m \cdot x + t$
Folgende Werte sind aus der Aufgabenstellung bekannt:
$A (2 | - 1)$
$S_{1} (1 | 1)$
Wir berechnen die Steigung $m$ .
Die Formel zur Berechnung der Steigung $m$ lautet:
$m = \frac{y_{Δ}}{x_{Δ}} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
Einstezen der bekannten Werte in die Formel:
$m = \frac{1 - (- 1)}{1 - 2} \Rightarrow m = - 2$
Berechnen von $t$ .
$1 = - 2 + t \Rightarrow t = 3$
Die Funktionsgleichung von $g$ lautet dann:
$g : y = - 2 x + 3$
Berechnen der Entfernung zwischen $S_{1}$ und $S_{2}$ .
Ermitteln des Scheitelpunktes der Parabel $p_{2}$ .
Berechnen des Scheitelpunktes mit der Formel:
$S (- \frac{b}{2 \cdot a} | c - \frac{b^{2}}{4 \cdot a})$
Folgende Werte sind bekannt $($ siehe Funktionsgleichung $p_{2} (x)$ $)$ :
$a = 1$
$b = 8$
$c = 12$
Einsetzen der Werte in die Formel:
$S_{2} (- \frac{8}{2 \cdot 1} | 12 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1})$
$S_{2} (- \frac{8}{2} | 12 - \frac{64}{4})$
$S_{2} (- 4 | - 4)$
Berechnen des Abstandes $a$ mit dem Satz des Pythagoras:
$a^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
$a = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
$a = \sqrt{(- 4 - 1)^{2} + (- 4 - 1)^{2}}$
$a = \sqrt{50}$
$a \approx 7,07 L E$
Überprüfen von Milas Behauptung.
x
$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$p_{1}$
$10$
$5$
$2$
$1$
$2$
$p_{2}$
$0$
$5$
$12$
$21$
$32$
$g$
$7$
$5$
$3$
$1$
$- 1$
Milo hat Recht, die Parabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ sowie die Gerade $g$ haben einen gemeinsamen Schnittpunkt $P_{g e m .}$ mit den Koordinaten $P_{g e m .} (- 1 | 5)$ .
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Stelle die Scheitelform von $p_{1}$ auf.
Multipliziere die Scheitelform aus.
Bestimme die Funktionsgleichung von $p_{2}$ , setze die Nullstellen $N_{1}$ und $N_{2}$ in die Linearfaktordarstellung ein und multipliziere aus.
Ermittle die Geradengleichung, indem Du die Koordinaten der Punkte $S_{2}$ und $A$ in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.
Berechne die Entfernung zwischen $S_{1}$ und $S_{2}$ . Wende den Satz des Pythagoras an.

x	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$p_{1}$	$10$	$5$	$2$	$1$	$2$
$p_{2}$	$0$	$5$	$12$	$21$	$32$
$g$	$7$	$5$	$3$	$1$	$- 1$

Dieses Werk wurde vom Land Baden-Württemberg zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Berechnen des Winkels φ.

Berechnen des Umfangs des Vierecks AEFD.

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Bestimmen der Funktionsgleichungen von p1 und p2.

Berechnen der Funktionsgleichung von g.

Berechnen der Entfernung zwischen S1 und S2.

Überprüfen von Milas Behauptung.

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Berechnen des Winkels $φ$ .

Berechnen des Umfangs des Vierecks $AEFD$ .

Bestimmen der Funktionsgleichungen von $p_{1}$ und $p_{2}$ .

Berechnen der Funktionsgleichung von $g$ .

Berechnen der Entfernung zwischen $S_{1}$ und $S_{2}$ .