Wahlteil B - lernen mit Serlo!

Das gleichschenklige Dreieck $A B C$ und das rechtwinklige Trapez $F B D E$ überdecken sich teilweise.
Es gilt:
$A C = 11,4 cm$
$B D = 8,2 cm$
$γ_{1} = 37,6 °$
$δ = 39,2 °$
$A C = B C$
Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $F B G E$ .
[5 P]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
1. Schritt: Länge von $B F = A F$
Da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, gilt: $A F = B F$
$\sin γ_{1}$ $=$ $\frac{A F}{A C}$ $\cdot A C$
$\sin γ_{1} \cdot A C$ $=$ $A F$
↓
Werte einsetzen
$\sin {37,6}^{\circ} \cdot 11,4$ $=$ $A F$
$6,96$ $=$ $A F = B F$
2. Schritt: Länge von $E F = B H$
$\sin δ$ $=$ $\frac{B H}{B D}$ $\cdot B D$
$\sin δ \cdot B D$ $=$ $B H$
↓
Werte einsetzen
$\sin {39,2}^{\circ} \cdot 8,2$ $=$ $B H$
$5,18$ $=$ $B H = E F$
3. Schritt: Länge von $E G$
Zunächst wird die Länge von $C F$ berechnet.
Es gilt $γ_{1} = γ_{2}$ und $B C = A C$ .
$\cos γ_{2}$ $=$ $\frac{C F}{B C}$ $\cdot B C$
$\cos γ_{2} \cdot B C$ $=$ $C F$
↓
Werte einsetzen
$\cos {37,6}^{\circ} \cdot 11,4$ $=$ $C F$
$9,03$ $=$ $C F$
Länge von $C E$ berechnen
$C E$ $=$ $C F - E F$
↓
Werte einsetzen
$C E$ $=$ $9,03 - 5,18$
$C E$ $=$ $3,85$
Länge von $E G$ berechnen
$\tan γ_{2}$ $=$ $\frac{E G}{C E}$ $\cdot C E$
$\tan γ_{2} \cdot C E$ $=$ $E G$
↓
Werte einsetzen
$\tan {37,6}^{\circ} \cdot 3,85$ $=$ $E G$
$2,96$ $=$ $E G$
4. Schritt: Flächeninhalt $A$ des Vierecks $F B G E$ berechnen
$A$ $=$ $\frac{B F + E G}{2} \cdot E F$
↓
Werte einsetzen
$A$ $=$ $\frac{6,96 + 2,96}{2} \cdot 5,18$
$A$ $=$ $25,7$
Flächeninhalt des Vierecks $F B G E$ beträgt $25,7 {cm}^{2}$ .
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Eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel $p$ mit der Form $y = x^{2} + b x - 2$ geht durch den Punkt $A (1 | 1)$ .
Berechne die Funktionsgleichung der Parabel $p$ .
Die Parabel $p$ geht auch durch den Punkt $B (- 3 | y_{B}$ ).
Sie schneidet die $y$ -Achse im Punkt $C .$
Bestimme die Koordinaten der Punkte $B$ und $C$ .
Die Punkte $A, B$ und $C$ bilden das Dreieck $A B C$ .
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .
Die Gerade $g$ geht durch den Punkt $C$ und hat die Steigung $m = - 3$ .
Gib die Funktionsgleichung von $g$ an.
Julius behauptet: „Die Gerade $g$ halbiert den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ ".
Überprüfe diese Aussage und begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.
[ 5 P ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Funktionsgleichung berechnen
Punkt $A (1 | 1)$ in $p$ einsetzen
$y$ $=$ $x^{2} + b \cdot x - 2$
↓
$A (1 | 1)$ einsetzen
$1$ $=$ $1^{2} + b \cdot 1 - 2$ $- (1^{2} - 2)$
$2$ $=$ $b$
Die Funktionsgleichung lautet:
$p : y = x^{2} + 2 x - 2$
Koordinaten bestimmen
Koordinaten des Punktes $B (- 3 | y_{B})$ in die Funktionsgleichung einsetzen.
$y_{B} = {(- 3)}^{2} + 2 \cdot 3 - 2$
$y_{B} = 1$
Der Punkt $B$ hat die Koordinaten $B (- 3 | 1)$ .
Punkt $C$ liegt auf der y-Achse, d.h. $x = 0$ .
$y_{C} = 0^{2} + 2 \cdot 0 - 2$
$y_{C} = - 2$
Der Punkt $C$ hat die Koordinate $C (0 | - 2)$ .
Flächeninhalt berechnen
Der Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks berechnet sich nach der Formel
$A = \frac{1}{2} \cdot Grundseite \cdot Höhe auf der Grundseite$
Hier bietet sich die Strecke $B A$ als Grundseite an, mit der Länge $1 - (- 3) = 4$
Die Höhe auf der Grundseite $B A$ hat die Länge $1 - (- 2) = 3$
Flächeninhalt des Dreiecks
$A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$
Funktionsgleichung angeben
Eine lineare Funktion hat die Form
$y = m \cdot x + b$
Die Gerade $g$ hat die Steigung $m = - 3$ und geht durch den Punkt $C (0 | - 2)$ .
$g : y = - 3 \cdot x + b$
Einsetzen der Koordinaten von $C (0 | - 2)$ in die Gleichung der Grade.
$- 2 = - 3 \cdot 0 + b$
$b = - 2$
Die Funktionsgleichung der Geraden lautet:
$g : y = - 3 \cdot x - 2$
Aussage überprüfen
Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Geraden $h$ durch die beiden Punkte $A$ und $B$ ermitteln.
Die Gerade $h$ durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft parallel zur x-Achse und hat die Form $h : y = 1$
Schnittpunkt von $g$ mit $h$
$- 3 \cdot x - 2$ $=$ $1$ $+ 2$
$- 3 \cdot x$ $=$ $3$ $: (- 3)$
$x$ $=$ $- 1$
Gerade $g$ schneidet die Gerade $h$ im Punkt $M (- 1 | 1)$ .
Die Gerade $g$ schneidet die Gerade $h$ im Punkt $M (- 1 | 1)$ . Dieser Punkt liegt genau auf der Hälfte der Strecke von $A$ nach $B$ . Da die Gerade $g$ auch durch den Punkt $C$ läuft, halbiert sie das Dreieck $A B C$ .
Alternative Begründung:
Der Flächeninhalt des Dreiecks $A M C$ beträgt:
$A_{A M C} = \frac{1}{2} \cdot Strecke M A \cdot Höhe auf Strecke M A$
$A_{A M C} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$
Dies ist genau die Hälfte des Flächeninhalts des Dreiecks $A B C$ .
Julius hat recht.
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Dieses Werk wurde vom Land Baden-Württemberg zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$\sin γ_{1}$	$=$	$\frac{A F}{A C}$	$\cdot A C$
$\sin γ_{1} \cdot A C$	$=$	$A F$
	↓	Werte einsetzen
$\sin {37,6}^{\circ} \cdot 11,4$	$=$	$A F$
$6,96$	$=$	$A F = B F$

$\sin δ$	$=$	$\frac{B H}{B D}$	$\cdot B D$
$\sin δ \cdot B D$	$=$	$B H$
	↓	Werte einsetzen
$\sin {39,2}^{\circ} \cdot 8,2$	$=$	$B H$
$5,18$	$=$	$B H = E F$

$\cos γ_{2}$	$=$	$\frac{C F}{B C}$	$\cdot B C$
$\cos γ_{2} \cdot B C$	$=$	$C F$
	↓	Werte einsetzen
$\cos {37,6}^{\circ} \cdot 11,4$	$=$	$C F$
$9,03$	$=$	$C F$

$C E$	$=$	$C F - E F$
	↓	Werte einsetzen
$C E$	$=$	$9,03 - 5,18$
$C E$	$=$	$3,85$

$\tan γ_{2}$	$=$	$\frac{E G}{C E}$	$\cdot C E$
$\tan γ_{2} \cdot C E$	$=$	$E G$
	↓	Werte einsetzen
$\tan {37,6}^{\circ} \cdot 3,85$	$=$	$E G$
$2,96$	$=$	$E G$

$A$	$=$	$\frac{B F + E G}{2} \cdot E F$
	↓	Werte einsetzen
$A$	$=$	$\frac{6,96 + 2,96}{2} \cdot 5,18$
$A$	$=$	$25,7$

$y$	$=$	$x^{2} + b \cdot x - 2$
	↓	$A (1 \| 1)$ einsetzen
$1$	$=$	$1^{2} + b \cdot 1 - 2$	$- (1^{2} - 2)$
$2$	$=$	$b$

$- 3 \cdot x - 2$	$=$	$1$	$+ 2$
$- 3 \cdot x$	$=$	$3$	$: (- 3)$
$x$	$=$	$- 1$

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