Teil 2 Stochastik I - lernen mit Serlo!

In einer Kleinstadt sind $30 %$ aller zugelassenen Elektroautos der Oberklasse $(O)$ zuzuordnen, die restlichen werden der Mittelklasse $(M)$ zugeordnet. Die Akkus aller hier betrachteten Elektroautos werden zu $39{,}5\;\%$ regelmäßig über eine Photovoltaik-Anlage $(V)$ des jeweiligen Fahrzeugeigners geladen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig aus all diesen Fahrzeugen ausgewähltes Elektroauto ein Modell der Oberklasse ist und regelmäßig über eine Photovoltaik-Anlage aufgeladen wird, beträgt $25{,}5\;\%$ .

Erstellen Sie eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel und berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_3=\overline{M\cap V}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel
Aus der Aufgabenstellung entnimmt, man die folgenden Werte:
$P(O)=0{,}3\;\Rightarrow\;P(M)=1-0{,}3=0{,}7$
$P(V)=0{,}395\;\Rightarrow\;P(\overline{V})=1-0{,}395=0{,}605$
$P(O\cap V)=0{,}255\;\Rightarrow\;P(M\cap V)=P(V)-P(O\cap V)=0{,}395-0{,}255=0{,}14$
$P(O\cap\overline{V})=P(O)-P(O\cap V)=0{,}3-0{,}255=0{,}045$
$P(M\cap\overline{V})=P(M)-P(M\cap V)=0{,}7-0{,}14=0{,}56$
Damit kann die Vierfeldertafel ausgefüllt werden.
$O$
$M$
$V$
$0,255$
$0,14$
$0,395$
$\overline{V}$
$0,045$
$0,56$
$0,605$
$0,3$
$0,7$
$1$
Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_3=\overline{M\cap V}$
$P(E_3)=P(\overline{M\cap V})=1-P(M\cap V)=1-0{,}14=0{,}86$
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_{3}$ beträgt $0,86$ .
Alternativ kann auch so gerechnet werden:
Mit den de Morganschen Gesetzen gilt: $\overline{M\cap V}=\overline{M}\cup\overline{V}$
Dabei handelt es sich um alle Elemente, die nicht in $M$ und $V$ liegen (oder höchstens eines der beiden Ereignisse $M$ oder $V$ tritt ein, jedoch nicht beide gleichzeitig).
Anmerkung: In der Vierfeldertafel ist $\overline{M}=O$
Dann gilt: $P(E_3)=P(\overline{M\cap V})=P(\overline{M}\cap V)+P(M\cap \overline{V})+P(\overline{M}\cap \overline{V})=0{,}255+0{,}56+0{,}045=0{,}86$
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_{3}$ beträgt $0,86$ .
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Teil 1
Übertrage die Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung in eine Vierfeldertafel.
Teil 2
Berechne $P(E_3)=P(\overline{M\cap V})=1-P(M\cap V)$ .
Untersuchen Sie, ob der Anteil der Fahrzeuge, die über eine Photovoltaik-Anlage des Fahrzeugeigners geladen werden, bei den Oberklasse-Modellen höher ist als bei den Mittelklasse-Modellen. Entscheiden Sie anschließend, ob die Ereignisse $M$ und $V$ stochastisch unabhängig sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit von Ereignissen
Untersuche, ob der Anteil der Fahrzeuge, die über eine Photovoltaik-Anlage des Fahrzeugeigners geladen werden, bei den Oberklasse-Modellen höher ist als bei den Mittelklasse-Modellen
Es gilt die unter a) angegebene Vierfeldertafel.
Dann ist $P_O(V)=\dfrac{P(O\cap V)}{P(O)}=\dfrac{0{,}255}{0{,}3}=0{,}85$ und $P_M(V)=\dfrac{P(M\cap V)}{P(M)}=\dfrac{0{,}14}{0{,}7}=0{,}2$ .
Der Anteil ist bei den Oberklasse-Modellen größer als bei den Mittelklasse-Modellen.
Entscheide anschließend, ob die Ereignisse $M$ und $V$ stochastisch unabhängig sind
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, falls gilt $P_{M} (V) = P (V)$ oder $P(M\cap V)=P(M)\cdot P(V)$ .
$P_M(V)=P(V)\;\Rightarrow\;0{,}2\neq 0{,}395\;\Rightarrow\;M\;$ und $V$ sind stochastisch abhängig.
Es gilt auch:
$P(M\cap V)=P(M)\cdot P(V)$
$P(M\cap V)=0{,}14$ und $P(M)\cdot P(V)=0{,}7\cdot 0{,}395=0{,}2765$
$\Rightarrow\;0{,}14\neq 0{,}2765\Rightarrow\;M\;$ und $V$ sind stochastisch abhängig.

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Teil 1
Berechne $P_{O} (V)$ und $P_{M} (V)$ und vergleiche.
Teil 2
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, falls gilt $P_{M} (V) = P (V)$ oder $P(M\cap V)=P(M)\cdot P(V)$ .

	$O$	$M$
$V$	$0,255$	$0,14$	$0,395$
$\overline{V}$	$0,045$	$0,56$	$0,605$
	$0,3$	$0,7$	$1$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E3=M∩V‾E_3=\overline{M\cap V}E3​=M∩V

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Untersuche, ob der Anteil der Fahrzeuge, die über eine Photovoltaik-Anlage des Fahrzeugeigners geladen werden, bei den Oberklasse-Modellen höher ist als bei den Mittelklasse-Modellen

Entscheide anschließend, ob die Ereignisse MMM und VVVstochastisch unabhängig sind

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Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_3=\overline{M\cap V}$

Entscheide anschließend, ob die Ereignisse $M$ und $V$ stochastisch unabhängig sind