Wahlteil B - lernen mit Serlo!

Auf der Oberfläche des quadratischen Prismas mit $a = 3 cm$ und $h = 2 a$ liegt der Streckenzug $R S T U V$ .
- Berechne die Länge des Streckenzuges $R S T U V$ .
- Zeichne das Netz des Prismas und trage den Streckenzug ein.
Emil behauptet: „Wenn man die beiden Seitenlängen der Grundfläche des Prismas verdoppelt, verdoppelt sich auch das Volumen des Prismas."
- Nimm Stellung und begründe deine Entscheidung.
[5 Pkt]
Streckenzug $R S T U V$ bestimmen
1. Schritt: $R S$ berechnen
Die Strecke $R S$ ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, deren beide Katheten bekannt sind. Mit dem Satz des Pythagoras kann die Hypotenuse berechnet werden.
${R S}^{2}$ $=$ ${(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3} a)}^{2}$
↓
bekannte Werte einsetzen
${R S}^{2}$ $=$ ${(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3} \cdot 3)}^{2}$
${R S}^{2}$ $=$ $\frac{9}{4} + 4$ $\sqrt{}$
$R S$ $=$ $\sqrt{\frac{9}{4} + 4}$
$R S$ $=$ $\sqrt{\frac{25}{4}}$
$R S$ $=$ $2,5$
(Die negative Lösung $R S = - 2,5$ bleibt bei Längen unberücksichtigt.)
Die Länge der Strecke $R S$ beträgt $2,5 cm$ .
2. Schritt: $S T$ berechnen
Die Strecke $S T$ ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, deren beide Katheten bekannt sind. Mit dem Satz des Pythagoras kann die Hypotenuse berechnet werden.
${S T}^{2}$ $=$ ${(\frac{a}{2})}^{2} + a^{2}$
↓
bekannte Werte einsetzen
${S T}^{2}$ $=$ ${(\frac{3}{2})}^{2} + 3^{2}$
${S T}^{2}$ $=$ $\frac{9}{4} + 9$ $\sqrt{}$
$S T$ $=$ $\sqrt{\frac{9}{4} + 9}$
$S T$ $=$ $\sqrt{\frac{45}{4}}$
$S T$ $=$ $3,35$
(Die negative Lösung $S T = - 3,35$ bleibt bei Längen unberücksichtigt.)
Die Länge der Strecke $S T$ beträgt $3,35 cm$ .
3. Schritt: $T U$ berechnen
Die Strecke $T U$ ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Von diesem Dreieck sind die Ankathete $h_{a}$ und der entsprechende Winkel $α$ bekannt. Mit der Kosinus Funktion kann die Hypotenuse berechnet werden.
$\cos α$ $=$ $\frac{h_{a}}{T U}$
↓
Einsetzen bekannter Werte
$\cos 20^{\circ}$ $=$ $\frac{2 \cdot 3}{T U}$ $\cdot T U$
$T U \cdot \cos 20^{\circ}$ $=$ $6$ $: \cos 20^{\circ}$
$T U$ $=$ $\frac{6}{\cos 20^{\circ}}$
$T U$ $=$ $6,39$
Die Länge der Strecke $T U$ beträgt $6,39 cm$ .
4. Schritt: $U V$ berechnen
$U V = a = 3 cm$
5. Schritt: Länge von $R S T U V$ bestimmen
${Länge}_{R S T U V} = R S + S T + T U + U V$
${Länge}_{R S T U V} = 2,5 + 3,35 + 6,39 + 3 = 15,24 cm$
Die Länge des Streckenzugs $R S T U V$ beträgt $15,24 cm$ .
Netz des Prismas
Behauptung prüfen
Das Volumen des Prismas $V$ beträgt
$V = Breite \cdot Länge \cdot Höhe = a \cdot h_{a} \cdot a$
Das Doppelte des Volumens beträgt
$2 \cdot V = 2 \cdot a \cdot h_{a} \cdot a$
Verdoppelt man die Seiten der Grundfläche, beträgt das Volumen
$V_{Breite und Länge verdoppelt} = 2 \cdot a \cdot 2 \cdot h_{a} \cdot a = 4 \cdot a \cdot h_{a} \cdot a$
$V_{Breite und Länge verdoppelt} \neq 2 \cdot V$
$4 \cdot a \cdot h_{a} \cdot a \neq 2 \cdot a \cdot h_{a} \cdot a$
Emil hat nicht recht.
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Zu einer verschobenen, nach unten geöffneten Normalparabel gehört folgende Wertetabelle:
- Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel.
- Vervollständige die Wertetabelle.
Till behauptet: „Jede nach unten geöffnete Normalparabel der Form $y = - x^{2} + c$ $(c \neq 0)$ besitzt nur negative $y$ -Werte“. Hat Till Recht?
- Begründe deine Entscheidung durch Argumentation.
$(3 x + 6) \cdot (4 - 2 x) = 0$
- Löse die Gleichung.
[5 Pkt]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Funktionsgleichung bestimmen
Allgemeine Form einer nach unten geöffneten Normalparabel
$y = - x^{2} + c$
$c$ bestimmen durch Einsetzen einer Koordinate aus der Wertetabelle.
$- 10$ $=$ $- (3^{2}) + c$
$- 10$ $=$ $- 9 + c$ $+ 9$
$- 1$ $=$ $c$
Die Funktionsgleichung der Parabel lautet
$y = - x^{2} - 1$
Wertetabelle vervollständigen
$x$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$
$y$
$- 10$
$- 5$
$- 2$
$- 1$
$- 2$
$- 5$
$- 10$
Behauptung prüfen
Der Koeffizient $c$ der unten geöffneten Normalparabel der Form $y = - x^{2} + c$ gibt die Verschiebung der Parabel entlang der y-Achse an.
Für $c > 0$ gilt, der Scheitelpunkt der Parabel liegt oberhalb der x-Achse, d.h. es existieren auch positive y-Werte.
Till hat nicht recht.
Gleichung lösen
$(3 x + 6) \cdot (4 - 2 x)$ $=$ $0$
↓
Klammern ausmultiplizieren
$12 x + 24 - 6 x^{2} - 12 x$ $=$ $0$
$24 - 6 x^{2}$ $=$ $0$ $- 24$
$- 6 x^{2}$ $=$ $- 24$ $: (- 6)$
$x^{2}$ $=$ $4$ $\sqrt{}$
$x$ $=$ $\pm 2$
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$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$- 10$	$- 5$	$- 2$	$- 1$	$- 2$	$- 5$	$- 10$

Dieses Werk wurde vom Land Baden-Württemberg zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

${R S}^{2}$	$=$	${(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3} a)}^{2}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
${R S}^{2}$	$=$	${(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3} \cdot 3)}^{2}$
${R S}^{2}$	$=$	$\frac{9}{4} + 4$	$\sqrt{}$
$R S$	$=$	$\sqrt{\frac{9}{4} + 4}$
$R S$	$=$	$\sqrt{\frac{25}{4}}$
$R S$	$=$	$2,5$

${S T}^{2}$	$=$	${(\frac{a}{2})}^{2} + a^{2}$
	↓	bekannte Werte einsetzen
${S T}^{2}$	$=$	${(\frac{3}{2})}^{2} + 3^{2}$
${S T}^{2}$	$=$	$\frac{9}{4} + 9$	$\sqrt{}$
$S T$	$=$	$\sqrt{\frac{9}{4} + 9}$
$S T$	$=$	$\sqrt{\frac{45}{4}}$
$S T$	$=$	$3,35$

$\cos α$	$=$	$\frac{h_{a}}{T U}$
	↓	Einsetzen bekannter Werte
$\cos 20^{\circ}$	$=$	$\frac{2 \cdot 3}{T U}$	$\cdot T U$
$T U \cdot \cos 20^{\circ}$	$=$	$6$	$: \cos 20^{\circ}$
$T U$	$=$	$\frac{6}{\cos 20^{\circ}}$
$T U$	$=$	$6,39$

$(3 x + 6) \cdot (4 - 2 x)$	$=$	$0$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$12 x + 24 - 6 x^{2} - 12 x$	$=$	$0$
$24 - 6 x^{2}$	$=$	$0$	$- 24$
$- 6 x^{2}$	$=$	$- 24$	$: (- 6)$
$x^{2}$	$=$	$4$	$\sqrt{}$
$x$	$=$	$\pm 2$

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