Ermittle eine Gleichung der Umkehrfunktion von $ff$

Gegeben ist $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{1-2x}}f(x)=\backslash dfrac\{x^2-1\}\{1-2x\}$$\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$ $y={\displaystyle \frac{x^2-1}{1-2x}}y=\backslash dfrac\{x^2-1\}\{1-2x\}$.

Tausche $xx$ mit y und löse nach $yy$ auf:

$x={\displaystyle \frac{y^2-1}{1-2y}}x=\backslash dfrac\{y^2-1\}\{1-2y\}$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel:

Damit ist $y=-x\pm \sqrt{x^2+x+1}y=-x\backslash pm\backslash sqrt\{x^2+x+1\}$.

Welches Vorzeichen vor der Wurzel ist das richtige Vorzeichen?

Es ist $f(0)=-1\Rightarrow (0\mid -1)f(0)=-1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;(0\backslash mid\; -1)$.

Bei Spiegelung von $(0\mid -1)(0\backslash mid\; -1)$ an der Winkelhalbierenden $y=xy=x$ wird daraus der Punkt $(-1\mid 0)(-1\backslash mid\; 0)$. Dieser Punkt muss also auf der Umkehrfunktion liegen.

Setze die Koordinaten von $(0\mid -1)(0\backslash mid\; -1)$ in $y=-x-\sqrt{x^2+x+1}y=-x-\backslash sqrt\{x^2+x+1\}$ ein:

$-1=0-\sqrt{0^2+0+1}=-\sqrt{1}=-1\mathrm{✓}-1=0-\backslash sqrt\{0^2+0+1\}=-\backslash sqrt\{1\}=-1\backslash ;\backslash checkmark$

Damit ist $y=-x-\sqrt{x^2+x+1}y=-x-\backslash sqrt\{x^2+x+1\}$ die gesuchte Umkehrfunktion.

Zeige, dass gilt: $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4\cdot (-2x+1)}}f(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}x-\backslash dfrac\{1\}\{4\}-\backslash dfrac\{3\}\{4\backslash cdot(-2x+1)\}$

Gegeben ist $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{1-2x}}f(x)=\backslash dfrac\{x^2-1\}\{1-2x\}$.

Führe eine Polynomdivision durch.

$\begin{array}{c}\phantom{-}(x^2+0x-1):(-2x+1)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{-\frac{3}{4}}{-2x+1}}\\ -\underset{‾}{(x^2-\frac{1}{2}x)}\\ \phantom{-(x^3-1}\frac{1}{2}x-1\\ \phantom{(x^3+}-\underset{‾}{(\frac{1}{2}x-\frac{1}{4})}\\ \phantom{-(x^3+3x^2}-\frac{3}{4}\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{2\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}\backslash phantom\{-\}\backslash \; (x^2+0x-1):(-2x+1)=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}x-\backslash dfrac\{1\}\{4\}+\backslash dfrac\{-\backslash frac\{3\}\{4\}\}\{-2x+1\}\; \backslash \backslash -\backslash underline\{(x^2-\backslash frac\{1\}\{2\}x)\}\backslash \backslash \backslash phantom\{-(x^3-1\}\backslash frac\{1\}\{2\}x-1\backslash \backslash \backslash phantom\{(x^3+\}-\backslash underline\{(\backslash frac\{1\}\{2\}x-\backslash frac\{1\}\{4\})\}\backslash \backslash \backslash phantom\{-(x^3+3x^2\}-\backslash frac\{3\}\{4\}\backslash end\{array\}$

Demnach ist $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{-\frac{3}{4}}{-2x+1}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4\cdot (-2x+1)}}\mathrm{✓}f(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}x-\backslash dfrac\{1\}\{4\}+\backslash dfrac\{-\backslash frac\{3\}\{4\}\}\{-2x+1\}=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}x-\backslash dfrac\{1\}\{4\}-\backslash dfrac\{3\}\{4\backslash cdot(-2x+1)\}\backslash ;\backslash checkmark$

Ermittle die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{1-2x}}f(x)=\; \backslash dfrac\{x^2-1\}\{1-2x\}$

Die Nullstellen von $G_{f}G\_f$ sind $x^2-1=0\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}=\pm 1x^2-1=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_\{1\{,\}2\}=\backslash pm\; 1$.

Die Nullstelle im III. Quadranten ist $x=-1x=-1$.

Daher muss für die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks das Integral ${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x}\backslash displaystyle\; \backslash int\_\{-1\}^\{0\}\; f(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x$ berechnet werden. Beachte dabei, dass die gesuchte Fläche unterhalb der x-Achse liegt. Der Wert des Integrals ist somit negativ und die Maßzahl des Flächeninhalts ist dann der Betrag davon.

${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_{-1}^0(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}-\frac{3}{4\cdot (-2x+1)})\mathrm{d}x}}\backslash displaystyle\; \backslash int\_\{-1\}^\{0\}\; f(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x=\backslash displaystyle\; \backslash int\_\{-1\}^\{0\}\; \backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{2\}x-\backslash dfrac\{1\}\{4\}-\backslash dfrac\{3\}\{4\backslash cdot(-2x+1)\}\backslash right)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x$

Die Stammfunktion von $f(x)f(x)$ ist $F(x)F(x)$ mit:

$F(x)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}x+{\displaystyle \frac{3}{8}}\ln (-2x+1)+CF(x)=\; -\backslash dfrac\{1\}\{4\}x^2-\backslash dfrac\{1\}\{4\}x+\backslash dfrac\{3\}\{8\}\backslash ln(-2x+1)+C$

Dann berechnet man das Integral:

${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x=F(0)-F(-1)\approx 0-\mathrm{0,41198}=-\mathrm{0,41198}}\backslash displaystyle\; \backslash int\_\{-1\}^\{0\}\; f(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x=F(0)-F(-1)\backslash approx\; 0-0\{,\}41198=-0\{,\}41198$

Dabei ist $F(0)=0+0+\frac{3}{8}\ln (-2\cdot 0+1)=\frac{3}{8}\ln (1)=0F(0)=0+0+\backslash frac\{3\}\{8\}\backslash ln(-2\backslash cdot\; 0+1)=\backslash frac\{3\}\{8\}\backslash ln(1)=0$ und

$F(-1)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot (-1{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot (-1)+{\displaystyle \frac{3}{8}}\ln (-2\cdot (-1)+1)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}\ln (3)\approx \mathrm{0,41198}F(-1)=\; -\backslash dfrac\{1\}\{4\}\backslash cdot\; (-1)^2-\backslash dfrac\{1\}\{4\}\backslash cdot\; (-1)+\backslash dfrac\{3\}\{8\}\backslash ln(-2\backslash cdot\; (-1)+1)=-\backslash dfrac\{1\}\{4\}+\backslash dfrac\{1\}\{4\}+\backslash dfrac\{3\}\{8\}\backslash ln(3)\backslash approx0\{,\}41198$

Die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks beträgt rund $\mathrm{0,4118}\mathrm{F}\mathrm{E}\mathrm{.}0\{,\}4118\; \backslash ;\backslash mathrm\{FE\}.$