Teil 2 mit Hilfsmitteln Stochastik II

1
Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
An einer Fachoberschule wird eine Umfrage zu den Zukunftsplänen der Schülerinnen und Schüler durchgeführt. Laut dieser Umfrage möchte nach dem Fachabitur ein Fünftel aller Befragten ein sogenanntes „Gap Year“ ( $G$ ) machen. $70 %$ davon haben vor, in diesem Jahr ins Ausland zu gehen ( $D$ ), alle anderen verbringen die Zeit lieber in Deutschland ( $D$ ). Von denjenigen, die ins Ausland gehen, machen dort $35 %$ Work & Travel ( $W$ ), $30 %$ ein Praktikum ( $P$ ) und der Rest andere Tätigkeiten ( $T$ ) wie zum Beispiel Sprachreisen, Urlaub oder arbeiten als Au-pair. Die Hälfte derer, die während ihres Gap Years in Deutschland bleiben, nutzt die Zeit für ein Praktikum und die andere Hälfte für einen Freiwilligendienst ( $F$ ). Von den Befragten, die sich gegen eine Auszeit ( $G$ ) nach dem Fachabitur entscheiden, planen $40 %$ zu studieren ( $S$ ). Der Rest wird zu gleichen Teilen die dreizehnte Klasse ( $K$ ) besuchen oder eine Ausbildung beginnen ( $A$ ).
Die Befragung einer zufällig ausgewählten Schülerin oder eines zufällig ausgewählten Schülers nach den Zukunftsplänen wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
1. Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des Zufallsexperiments. (5 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des Zufallsexperiments
  Übertrage die gegebenen Wahrscheinlichkeiten in ein Baumdiagramm:
  $P ({G; D; P}) = 0,2 \cdot 0,3 \cdot 0,5 = 0,03$
  $P ({G; D; F}) = 0,2 \cdot 0,3 \cdot 0,5 = 0,03$
  $P ({G; D; W}) = 0,2 \cdot 0,7 \cdot 0,35 = 0,049$
  $P ({G; D; P}) = 0,2 \cdot 0,7 \cdot 0,3 = 0,042$
  $P ({G; D; T}) = 0,2 \cdot 0,7 \cdot 0,35 = 0,049$
  $P ({G; S}) = 0,8 \cdot 0,4 = 0,32$
  $P ({G; K}) = 0,8 \cdot 0,3 = 0,24$
  $P ({G; A}) = 0,8 \cdot 0,3 = 0,24$
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  Übertrage die gegebenen Wahrscheinlichkeiten in ein Baumdiagramm und bestimme die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit den Pfadregeln.
2. Gegeben sind die folgenden Ereignisse:
  $E_{1}$ : „Eine zufällig ausgewählte befragte Person plant ein Gap Year im Ausland.“
  $E_{2} : {(G; D; P); (G; D; P)}$
  $E_{3} = E_{1} \cap E_{2}$
  Geben Sie $E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise an und formulieren Sie $E_{2}$ möglichst einfach im Sachzusammenhang. Berechnen Sie anschließend $P (E_{3})$ .
  (4 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Gib $E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise an
  Ein Gap Year im Ausland $\Rightarrow$ dazu gehören $G; D$ und entsprechend der Pfade $W, P$ und $T$ , also $3$ Ereignisse:
  $E_{1} = {(G; D; W); (G; D; P); (G; D; T)}$
  Formuliere $E_{2}$ möglichst einfach im Sachzusammenhang
  Gegeben ist $E_{2} : {(G; D; P); (G; D; P)}$ $\Rightarrow$ Eine zufällig ausgewählte Person macht ein Praktikum.
  Berechne $P (E_{3})$
  Es ist $E_{3} = E_{1} \cap E_{2}$ :
  Bestimme die Schnittmenge von $E_{1}$ und $E_{2}$ :
  $E_{1} \cap E_{2} = {(G; D; P)} \Rightarrow {(G; D; P)}$ ist das Gegenereignis zu $E_{1} \cap E_{2}$ .
  $\Rightarrow P (E_{3}) = P (E_{1} \cap E_{2}) = 1 - P (E_{1} \cap E_{2}) = 1 - 0,042 = 0,958$
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  Teil 1
  Ein Gap Year im Ausland $\Rightarrow$ dazu gehören $G; D$ und entsprechend der Pfade $W, P$ und $T$ , also $3$ Ereignisse.
  Teil 2
  Gegeben ist $E_{2} : {(G; D; P); (G; D; P)}$ . Wichtig ist das Praktikum ( $P$ ), sowohl in $(D)$ als auch in $(D)$ .
  Teil 3
  Bestimme die Schnittmenge von $E_{1}$ und $E_{2}$ und betrachte das Gegenereignis.
2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Schülerin Lena entscheidet sich für ein Gap Year mit Auslandsaufenthalt in Asien. Sie findet einen Job bei einer Auffangstation für Meerestiere. Im Durchschnitt sind $65$ von 100 behandelten Tieren in der Station Meeresschildkröten ( $S$ ). Insgesamt sind $60 %$ aller Verletzungen und Krankheiten bei Meerestieren die Folge von Plastikmüll ( $M$ ) in den Ozeanen, zwei Drittel davon treten bei Meeresschildkröten auf.
Erstellen Sie für den beschriebenen Sachverhalt eine vollständig ausgefüllte
Vierfeldertafel. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_{4} = M \cup S$ und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Erstelle für den beschriebenen Sachverhalt eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel
Bekannt sind: "Im Durchschnitt sind $65$ von $100$ behandelten Tieren in der Station Meeresschildkröten ( $S$ )" $\Rightarrow P (S) = 0,65 \Rightarrow P (S) = 1 - 0,65 = 0,35$ und weiterhin " $60 %$ aller Verletzungen und Krankheiten bei Meerestieren die Folge von Plastikmüll ( $M$ ) in den Ozeanen" $\Rightarrow P (M) = 0,60 \Rightarrow M = 1 - 0,60 = 0,40$
"Zwei Drittel davon treten bei Meeresschildkröten auf" $\Rightarrow P (M \cap S) = \frac{2}{3} \cdot 0,6 = 0,40$
$P (M \cap S) = 0,60 - 0,40 = 0,20$
Ergänze die noch fehlenden Felder.
$M$
$M$
$S$
$0,40$
$0,25$
$0,65$
$S$
$0,20$
$0,15$
$0,35$
$0,60$
$0,40$
$1$
Bekannt sind: "Im Durchschnitt sind $65$ von $100$ behandelten Tieren in der Station Meeresschildkröten ( $S$ )" $\Rightarrow P (S) \Rightarrow P (S) = 1 - P (S)$ und weiterhin " $60 %$ aller Verletzungen und Krankheiten bei Meerestieren die Folge von Plastikmüll ( $M$ ) in den Ozeanen" $\Rightarrow P (M) \Rightarrow P (M) = 1 - P (M)$ .
"Zwei Drittel davon treten bei Meeresschildkröten auf" $\Rightarrow P (M \cap S) = \frac{2}{3} \cdot P (M)$ .
$\Rightarrow P (M \cap S) = P (M) - P (M \cap S)$
Ergänze die noch fehlenden Felder.
3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Eine von Lenas Lieblingsaufgaben in der Auffangstation ist das Freilassen von Baby-Schildkröten an möglichst sicheren Stränden. Sie weiß jedoch, dass die Überlebenschance der Baby-Schildkröten in den ersten paar Tagen aufgrund der hohen Anzahl an Fressfeinden nur bei $10 %$ liegt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $20$ freigelassenen Schildkrötenbabys mindestens drei, aber höchstens sieben Tiere überleben. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $20$ freigelassenen Schildkrötenbabys mindestens drei, aber höchstens sieben Tiere überleben
Gegeben sind $n = 20$ und $p = 0,1$ (für das Überleben)
Gesucht ist $P (3 \leq X \leq 7) = F (20; 0,1; 7) - F (20; 0,1; 2) \approx 0,99958 - 0,67693 = 0,32265$
(Wahrscheinlichkeitswerte mit dem Tafelwerk bestimmt.)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $20$ freigelassenen Schildkrötenbabys mindestens drei, aber höchstens sieben Tiere überleben, beträgt rund $0,32265$ .
Gegeben sind $n = 20$ und $p = 0,1$ (für das Überleben)
Gesucht ist $P (3 \leq X \leq 7) = F (20; 0,1; 7) - F (20; 0,1; 2)$ .
4
Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Lena möchte die Reisezeit ihres Work & Travel Aufenthalts nutzen, um Tauchen zu
lernen. Eine Tauchschule in Thailand macht Werbung mit der Behauptung, dass bei
mindestens $70 %$ aller Tauchgänge Meeresschildkröten beobachtet werden können.
Lena vermutet allerdings, dass der Anteil deutlich geringer ist (Gegenhypothese). Um ihren Verdacht mit einem Hypothesentest zu überprüfen, befragt sie jeweils einen Teilnehmer bzw. eine Teilnehmerin von $50$ verschiedenen Tauchgängen, ob Schildkröten gesehen wurden. Lena möchte sich bei der Annahme ihrer Vermutung mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $3 %$ irren.
1. Geben Sie für diesen Test die Testgröße sowie die Nullhypothese an. Ermitteln Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese und geben Sie an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn auf genau $20$ Tauchgängen keine Meeresschildkröten gesehen werden. (5 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
  Gib für diesen Test die Testgröße sowie die Nullhypothese an
  Testgröße: X= "Anzahl von Tauchgängen, bei den unter 50 Tauchgängen Meeresschildkröten gesehen wurden."
  Nullhypothese: $H_{0} : p \geq 0,70$
  ( $H_{1} : p < 0,70$ (linksseitiger Test))
  Ermittle den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese
  Es ist $α = 0,03$ und $n = 50$ .
  $A = {0, . . . ., k}$ und $A = {k + 1, . . . ., 50}$
  $\Rightarrow P (X \leq k) = F (50; 0,70; k) \leq 0,03$
  Mit dem Tafelwerk findet man:
  $F (50; 0,70; 27) \approx 0,012 < 0,03$
  $F (50; 0,70; 28) \approx 0,025 < 0,03$
  $F (50; 0,70; 29) \approx 0,048 > 0,03$
  Also ist $k = 28$
  $\Rightarrow$ Der größtmögliche Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist $A = {0, . . . ., 28}$ (und $A = {29, . . . ., 50}$ ).
  Gib an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn auf genau $20$ Tauchgängen keine Meeresschildkröten gesehen werden
  Wurden bei $20$ Tauchgängen keine Meeresschildkröten gesehen, dann bedeutet das aber, dass bei $50 - 20 = 30$ Tauchgängen Meeresschildkröten gesehen wurden. $30 \in A \Rightarrow$ die Nullhypothese wird nicht abgelehnt.
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  Teil 1
  Testgröße: X= "Anzahl von Tauchgängen, bei den unter 50 Tauchgängen Meeresschildkröten gesehen wurden."
  Nullhypothese: $H_{0} : p \geq 0,70$
  Teil 2
  Berechne $P (X \leq k) \leq 0,03$ $\Rightarrow A$ und $A$ .
  Teil 3
  Wurden bei $20$ Tauchgängen keine Meeresschildkröten gesehen, dann bedeutet das aber, dass bei $50 - 20 = 30$ Tauchgängen Meeresschildkröten gesehen wurden.
  In welchem Bereich liegt 30?
2. Berechnen Sie für den in Teilaufgabe a) entwickelten Test die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art, wenn tatsächlich nur auf der Hälfte aller Tauchgänge mit der Tauchschule Meeresschildkröten gesehen werden. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
  Berechne für den in Teilaufgabe a) entwickelten Test die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art, wenn tatsächlich nur auf der Hälfte aller Tauchgänge mit der Tauchschule Meeresschildkröten gesehen werden
  "Nur auf der Hälfte aller Tauchgänge mit der Tauchschule Meeresschildkröten gesehen werden." $\Rightarrow p = 0,5$ und $n = 50$
  Für den $β -$ Fehler gilt: $P (X \in A)$ und $A = {29, . . . ., 50}$
  $\Rightarrow P (X \geq 29) = 1 - P (X \leq 28) = 1 - F (50; 0,5; 28) = 1 - 0,83888 = 0,16112$
  Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art beträgt rund $0,16112$ .
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  Es ist $p = 0,5$ und $n = 50$ .
  Für den $β -$ Fehler gilt: $P (X \in A)$ und $A = {29, . . . ., 50}$
  Berechne $P (X \geq 29)$ .

	$M$	$M$
$S$	$0,40$	$0,25$	$0,65$
$S$	$0,20$	$0,15$	$0,35$
	$0,60$	$0,40$	$1$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 2 mit Hilfsmitteln Stochastik II

Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des Zufallsexperiments

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Gib E1 in aufzählender Mengenschreibweise an

Formuliere E2 möglichst einfach im Sachzusammenhang

Berechne P(E3)

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Erstelle für den beschriebenen Sachverhalt eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 20 freigelassenen Schildkrötenbabys mindestens drei, aber höchstens sieben Tiere überleben

Gib für diesen Test die Testgröße sowie die Nullhypothese an

Ermittle den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese

Gib an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn auf genau 20 Tauchgängen keine Meeresschildkröten gesehen werden

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Berechne für den in Teilaufgabe a) entwickelten Test die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art, wenn tatsächlich nur auf der Hälfte aller Tauchgänge mit der Tauchschule Meeresschildkröten gesehen werden

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Gib $E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise an

Formuliere $E_{2}$ möglichst einfach im Sachzusammenhang

Berechne $P (E_{3})$

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $20$ freigelassenen Schildkrötenbabys mindestens drei, aber höchstens sieben Tiere überleben

Gib an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn auf genau $20$ Tauchgängen keine Meeresschildkröten gesehen werden