Ermittle die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $h^{-1}$ mit der $y$-Achse

Der Schnittpunkt von $G_h$ mit der x-Achse ergibt bei Spiegelung an der Winkelhalbierenden $y=x$ den Schnittpunkt von $G_{h^{\prime }}$ mit der y-Achse.

Es ist $h(x)=\ln \left({\displaystyle \frac{4-x^2}{2+x^2}}\right)$.

$h(x)=0\Rightarrow \ln (1)=0\Rightarrow 1={\displaystyle \frac{4-x^2}{2+x^2}}$

Man erhält die beiden Lösungen $x_1=-1$ und $x_2=1$. Wegen $D_h=]-2;0]$ entfällt die Lösung $x_2$.

Die x-Achse wird also im Punkt $N(-1|0)$ geschnitten$\Rightarrow h^{\prime }(x)$ schneidet die y-Achse im Punkt $S_y(0|-1)$.

Ermittle die Steigung der Tangente am Graphen von $h^{-1}$ im Punkt $B(?|-1)$

Nach Aufgabe a) hat der Punkt $B$ die Koordinaten $(0|-1)$.

Die allgemeine Tangentengleichung ist $y_T=mx+b$.

Wegen $B(0|-1)$ ist $b=-1$.

Zur Bestimmung der Tangentensteigung berechne die Ableitung von $h(x)$.

Benutze ein Logarithmengesetz:

$h(x)=\ln \left({\displaystyle \frac{4-x^2}{2+x^2}}\right)=\ln (4-x^2)-\ln (2+x^2)$

Benutze bei der Ableitung die Kettenregel:

Dann ist $h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{4-x^2}}\cdot (-2x)-{\displaystyle \frac{1}{2+x^2}}\cdot (2x)$.

Klammere $(-2x)$ aus:

Also ist $h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{12x}{x^4-2x^2-8}}$.

$h^{\prime }(-1)={\displaystyle \frac{12\cdot (-1)}{(-1{)}^4-2\cdot (-1{)}^2-8}}={\displaystyle \frac{-12}{1-2-8}}={\displaystyle \frac{-12}{-9}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

Hinweis: Schneller geht es, wenn man auf das Teilergebnis verzichtet und direkt in $h^{\prime }(x)$ den Wert $x=-1$ einsetzt:

$h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{4-x^2}}\cdot (-2x)-{\displaystyle \frac{1}{2+x^2}}\cdot (2x)$, also

$h^{\prime }(-1)={\displaystyle \frac{1}{4-1}}\cdot (-2\cdot (-1))-{\displaystyle \frac{1}{2+1}}\cdot (2\cdot (-1))={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{-2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

Nun gilt:

Die Steigung der Umkehrfunktion am gespiegelten Punkt $B(0|-1)$ ist der Kehrwert der Steigung der ursprünglichen Funktion im Punkt $(-1|0)$.

Also ist die Steigung $m$ der Tangente im Punkt $B(0|-1)$ der Kehrwert von ${\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{4}}$

Damit lautet die Tangentengleichung im Punkt $B(0|-1)$: $y_T={\displaystyle \frac{3}{4}}x-1$.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.