Teil 1 ohne Hilfsmittel Analysis

Gib die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $g$ mit den Koordinatenachsen an

Schnittpunkte des Graphen von $g$ mit der x-Achse

Gegeben ist $g(x)=e^{-3x}\cdot (-3x-2)$.

Für die Nullstellen löse die Gleichung $g(x)=0$.

$\Rightarrow 0=e^{-3x}\cdot (-3x-2)$

Weil ${\mathrm{e}}^{-3x}\ne 0$ für alle $x\in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$\Rightarrow -3x-2=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

Somit lautet der Schnittpunkt von $G_g$ mit der x-Achse $N(-\frac{2}{3}|0)$.

Schnittpunkte des Graphen von $g$ mit der y-Achse

Setze $x=0$ in $g(x)$ ein $\Rightarrow g(0)=-2\Rightarrow S_y(0|-2)$.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0|-2)$.

Widerlege die folgende Aussage: „Die Funktion $g$ ist umkehrbar.“

Funktionen sind umkehrbar, wenn sie für den gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsen oder streng monoton fallend sind.

Erstelle eine Monotonietabelle.

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:

$g^{\prime }(x)=e^{-3x}\cdot (-3)\cdot (-3x-2)+e^{-3x}\cdot (-3)=e^{-3x}\cdot (9x+6-3)$

$g^{\prime }(x)=e^{-3x}\cdot (9x+3)$

$g^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=e^{-3x}\cdot (9x+3)$

Weil ${\mathrm{e}}^{-3x}\ne 0$ für alle $x\in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$9x+3=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

Berechne $g^{\prime }(x)$ für $x<-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ und für $x>-{\displaystyle \frac{1}{3}}$:

$g^{\prime }(-1)=e^3\cdot (9\cdot (-1)+3)=-6\cdot e^3<0$

$g^{\prime }(1)=e^{-3}\cdot (9\cdot 1+3)=12\cdot e^{-3}>0$

Der Graph von $g$ ist sowohl streng monoton fallend als auch streng monoton steigend$\Rightarrow$ Funktion ist nicht umkehrbar.

Ermittle eine integralfreie Darstellung von $${\displaystyle \int g(x)\mathrm{d}x}$$

Es ist $g(x)=e^{-3x}\cdot (-3x-2)$.

Mache für $G(x)$ den Ansatz $G(x)=e^{-3x}\cdot (ax+b)$.

Es muss $G^{\prime }(x)=g(x)$ sein:

Berechne $G^{\prime }(x)$ mithilfe der Produkt- und Kettenregel:

$G^{\prime }(x)=e^{-3x}\cdot (-3)\cdot (ax+b)+e^{-3x}\cdot a=e^{-3x}\cdot (-3ax-3b+a)$

Der Koeffizientenvergleich liefert:

$-3a=-3\Rightarrow a=1$ und $-3b+a=-2\Rightarrow -3b+1=-2\Rightarrow b=1$

Damit ist $G(x)=e^{-3x}\cdot (x+1)+C$ eine integralfreie Darstellung von $${\displaystyle \int g(x)\mathrm{d}x.}$$

Ermittle das Verhalten der Funktionswerte von $f$ an den Rändern von $D_f$

Betrachtung des linken Randes des Definitionsbereichs: $${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)}$$

Rechtsseitiger Grenzwert: $${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\arctan \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-x}{x}}\end{array}\right))}$$

Dabei gilt: $${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1-x}{x}}=\infty }$$ und $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\arctan \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-x}{x}}\end{array}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$$ (siehe Abbildung).

Dann erhält man: $${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\arctan \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-x}{x}}\end{array}\right))={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}$$

Betrachtung des rechten Randes des Definitionsbereichs: $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }f(x)}$$

Dabei gilt: $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1-x}{x}}=-1}$$ und $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\arctan \left({\displaystyle \frac{1-x}{x}}\right)=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}$$ (siehe Abbildung).

Dann erhält man: $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\arctan \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-x}{x}}\end{array}\right))={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})={\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$$

Ergebnis:

Verhalten am linken Rand von $D_f:f(x)\mapsto -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

Verhalten am rechten Rand von $D_f:f(x)\mapsto {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

Berechne die Nullstelle von $f$

Es ist $f(x)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\arctan \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-x}{x}}\end{array}\right)$.

Für die Nullstellen löse die Gleichung $f(x)=0$.

$0={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\arctan \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-x}{x}}\end{array}\right)\Rightarrow {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=\arctan \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-x}{x}}\end{array}\right)$

$\arctan (1)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1-x}{x}}=1\Rightarrow 1-x=x\Rightarrow x=\mathrm{0,5}$

Die Nullstelle von $f$ ist $x=\mathrm{0,5}$.

Ermittle die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $h^{-1}$ mit der $y$-Achse

Der Schnittpunkt von $G_h$ mit der x-Achse ergibt bei Spiegelung an der Winkelhalbierenden $y=x$ den Schnittpunkt von $G_{h^{\prime }}$ mit der y-Achse.

Es ist $h(x)=\ln \left({\displaystyle \frac{4-x^2}{2+x^2}}\right)$.

$h(x)=0\Rightarrow \ln (1)=0\Rightarrow 1={\displaystyle \frac{4-x^2}{2+x^2}}$

Man erhält die beiden Lösungen $x_1=-1$ und $x_2=1$. Wegen $D_h=]-2;0]$ entfällt die Lösung $x_2$.

Die x-Achse wird also im Punkt $N(-1|0)$ geschnitten$\Rightarrow h^{\prime }(x)$ schneidet die y-Achse im Punkt $S_y(0|-1)$.

Ermittle die Steigung der Tangente am Graphen von $h^{-1}$ im Punkt $B(?|-1)$

Nach Aufgabe a) hat der Punkt $B$ die Koordinaten $(0|-1)$.

Die allgemeine Tangentengleichung ist $y_T=mx+b$.

Wegen $B(0|-1)$ ist $b=-1$.

Zur Bestimmung der Tangentensteigung berechne die Ableitung von $h(x)$.

Benutze ein Logarithmengesetz:

$h(x)=\ln \left({\displaystyle \frac{4-x^2}{2+x^2}}\right)=\ln (4-x^2)-\ln (2+x^2)$

Benutze bei der Ableitung die Kettenregel:

Dann ist $h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{4-x^2}}\cdot (-2x)-{\displaystyle \frac{1}{2+x^2}}\cdot (2x)$.

Klammere $(-2x)$ aus:

Also ist $h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{12x}{x^4-2x^2-8}}$.

$h^{\prime }(-1)={\displaystyle \frac{12\cdot (-1)}{(-1{)}^4-2\cdot (-1{)}^2-8}}={\displaystyle \frac{-12}{1-2-8}}={\displaystyle \frac{-12}{-9}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

Hinweis: Schneller geht es, wenn man auf das Teilergebnis verzichtet und direkt in $h^{\prime }(x)$ den Wert $x=-1$ einsetzt:

$h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{4-x^2}}\cdot (-2x)-{\displaystyle \frac{1}{2+x^2}}\cdot (2x)$, also

$h^{\prime }(-1)={\displaystyle \frac{1}{4-1}}\cdot (-2\cdot (-1))-{\displaystyle \frac{1}{2+1}}\cdot (2\cdot (-1))={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{-2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

Nun gilt:

Die Steigung der Umkehrfunktion am gespiegelten Punkt $B(0|-1)$ ist der Kehrwert der Steigung der ursprünglichen Funktion im Punkt $(-1|0)$.

Also ist die Steigung $m$ der Tangente im Punkt $B(0|-1)$ der Kehrwert von ${\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{4}}$

Damit lautet die Tangentengleichung im Punkt $B(0|-1)$: $y_T={\displaystyle \frac{3}{4}}x-1$.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.