Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$E_1$: „Nur die letzten beiden Schülerinnen kaufen eine Breze.“

Es ist $n=20$ und $p_{\text{Breze kaufen}}=\mathrm{0,3}$$\Rightarrow p_{\text{keine Breze kaufen}}=\mathrm{0,7}$.

$P(E_1)=\underset{\text{ersten 18 kaufen keine Breze}}{\underbrace{{\mathrm{0,7}}^{18}}}\cdot \underset{\text{letzte 2 kaufen eine Breze}}{\underbrace{{\mathrm{0,3}}^2}}\approx \mathrm{0,00015}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass nur die letzten beiden Schülerinnen eine Breze kaufen, beträgt rund $\mathrm{0,00015}$.

$E_2$: „Genau zehn der Schülerinnen kaufen keine Breze.“

$P(E_2)=P(X=10)=B(20;\mathrm{0,7};10)=\left(\begin{array}{c}20\\ 10\end{array}\right)\cdot {\mathrm{0,7}}^{10}\cdot {\mathrm{0,3}}^{10}\approx \mathrm{0,03082}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau zehn der Schülerinnen keine Breze kaufen, beträgt rund $\mathrm{0,03082}$.

Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ und interpretiere diesen im Sachzusammenhang

Es ist $E(X)=n\cdot p=20\cdot \mathrm{0,3}=6$.

Man kann beim Pausenverkauf erwarten, dass von $20$ Schülerinnen sechs eine Breze kaufen.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, mit der die Zufallswerte von $X$ innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen

Es ist $\mu =E(X)=6$.

$\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{20\cdot \mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,7}}=\sqrt{\mathrm{4,2}}\approx \mathrm{2,05}$

$\mu -\sigma \approx 6-\mathrm{2,05}=\mathrm{3,95}$ und $\mu +\sigma \approx 6+\mathrm{2,05}=\mathrm{8,05}$

Damit folgt:

$P(4\le X\le 8)=F(20;\mathrm{0,3};8)-F(20;\mathrm{0,3};3)\approx \mathrm{0,88667}-\mathrm{0,10709}=\mathrm{0,77958}$

Die Wahrscheinlichkeit, mit der die Zufallswerte von $X$ innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen, beträgt rund $\mathrm{0,77958}$.

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses: $E_3$: „Mehr als doppelt so viele Schülerinnen wie erwartet kaufen eine Breze.“

$E(X)=6$

Dann ist gesucht: $P(E_3)=P(x>12)=1-P(X\le 12)=1-F(20;\mathrm{0,3};12)\approx 1-\mathrm{0,99872}=\mathrm{0,00128}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als doppelt so viele Schülerinnen wie erwartet eine Breze kaufen, beträgt rund $\mathrm{0,00128}$.