Teil 2 Stochastik I: mit Hilfsmitteln

Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Ein Fanshop vor einem Stadion bietet den Fans genau die folgenden drei Artikel zum Kauf:

Im Folgenden werden nur Fans betrachtet, die mindestens einen der obigen drei Artikel kaufen, wobei kein Fan denselben Artikel mehrfach kauft.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Ausgaben in Euro eines Fans im Fanshop.

Die folgende Tabelle zeigt die unvollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung der

Zufallsgröße $X$ .

Vervollständigen Sie die Tabelle, indem Sie die fehlenden Zufallswerte $x$ von links nach rechts der Größe nach aufsteigend in die obere Tabellenzeile eintragen. Berechnen Sie anschließend die durchschnittlichen Tageseinnahmen des Fanshops pro Spieltag, wenn im Fanshop mit durchschnittlich $250$ Fans an einem Spieltag zu rechnen ist. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Vervollständige die Tabelle, indem Du die fehlenden Zufallswerte $x$ von links nach rechts der Größe nach aufsteigend in die obere Tabellenzeile einträgst
Fahne: F; Hose: H; Trikot: T
Gegenstand
F
H
F+H
T
T+F
T+H
T+F+H
Kosten in €
10
50
60
100
110
150
160
Damit erhält man die folgende ausgefüllte Tabelle:
Berechne anschließend die durchschnittlichen Tageseinnahmen des Fanshops pro Spieltag, wenn im Fanshop mit durchschnittlich $250$ Fans an einem Spieltag zu rechnen ist
Berechne den Erwartungswert:
$E (X) = 10 \cdot 0,1 + 50 \cdot 0,2 + 60 \cdot 0,2 + 100 \cdot 0,15 + 110 \cdot 0,05 + 150 \cdot 0,25 + 160 \cdot 0,05$
$E (X) = 1 + 10 + 12 + 15 + 5,5 + 37,5 + 8 = 89$
Bei $250$ Fans erhält man durchschnittliche Tageseinnahmen von $89 \cdot 250 = 22250 €$ .
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Teil 1
Überlege, welche Kosten möglich sind, wenn $1$ oder $2$ oder $3$ Artikel gekauft werden.
Teil 2
Berechne mit der ausgefüllten Tabelle den Erwartungswert $E (x)$ .
Die zu erwartenden Einnahmen sind dann $250 \cdot E (x)$ .
Aufgrund der zunehmenden Anzahl an umweltbewussten Fans überlegt der Inhaber des Fanshops nur noch GREEN-Label zertifizierte Trikots und Hosen anzubieten. Er müsste dafür aber die Verkaufspreise dieser Artikel deutlich erhöhen. Ein befreundeter Geschäftsmann behauptet, dass erfahrungsgemäß mindestens $80 %$ der Fans den Preisanstieg akzeptieren würden und dadurch eine deutliche Gewinnsteigerung zu erwarten sei. Sollte dies der Fall sein, will der Inhaber des Fanshops die Umstellung wagen. Allerdings glaubt er, dass deren Anteil deutlich geringer ist (Gegenhypothese).
Um eine Entscheidung zu treffen, befragt er $100$ zufällig ausgewählte Fans, ob diese
höhere Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte in Kauf nehmen würden.
Entwickeln Sie für den Inhaber des Fanshops einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $5 %$ . Geben Sie an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn $75$ Kunden angeben, dass sie die höheren Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte akzeptieren würden. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
Entwickle für den Inhaber des Fanshops einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $5 %$
Es ist $X =$ Anzahl der Fans, die den Preisanstieg akzeptieren würden
$H_{0} : p \geq 0,80$
$H_{1} : p < 0,80$ (linksseitiger Test) $n = 100, α = 0,05$
$A = {0, . . . . . . ., k}$ und $A = {k + 1, . . . . . . ., 100}$
$P (X \leq k) = F (100,0,80, k) \leq 0,05$
Laut Tafelwerk (oder TR) gilt:
$F (100,0,80,72) \approx 0,034 < 0,05$
$F (100,0,80,73) \approx 0,0558 > 0,05$
Also ist $k = 72$ und $A = {0, . . . . . . ., 72}, A = {73, . . . . . . ., 100}$
Gib an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn $75$ Kunden angeben, dass sie die höheren Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte akzeptieren würden
Wenn $75$ Kunden angegeben haben, dass sie die höheren Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte akzeptieren würden, wird die Nullhypothese beibehalten ( $75 \in A$ ).
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Teil 1
Es ist $X =$ Anzahl der Fans, die den Preisanstieg akzeptieren würden
$H_{0} : p \geq 0,80$ ; $H_{1} : p < 0,80$ (linksseitiger Test) $n = 100, α = 0,05$
$A = {0, . . . . . . ., k}$ und $A = {k + 1, . . . . . . ., 100}$
Suche ein $k$ , sodass $P (X \leq k) \leq 0,05$
Teil 2
Liegt die Zahl $75$ im Annahme- oder Ablehnungsbereich?

Gegenstand	F	H	F+H	T	T+F	T+H	T+F+H
Kosten in €	10	50	60	100	110	150	160

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Vervollständige die Tabelle, indem Du die fehlenden Zufallswerte x von links nach rechts der Größe nach aufsteigend in die obere Tabellenzeile einträgst

Berechne anschließend die durchschnittlichen Tageseinnahmen des Fanshops pro Spieltag, wenn im Fanshop mit durchschnittlich 250 Fans an einem Spieltag zu rechnen ist

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Entwickle für den Inhaber des Fanshops einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von 5%

Gib an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn 75 Kunden angeben, dass sie die höheren Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte akzeptieren würden

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Vervollständige die Tabelle, indem Du die fehlenden Zufallswerte $x$ von links nach rechts der Größe nach aufsteigend in die obere Tabellenzeile einträgst

Berechne anschließend die durchschnittlichen Tageseinnahmen des Fanshops pro Spieltag, wenn im Fanshop mit durchschnittlich $250$ Fans an einem Spieltag zu rechnen ist

Entwickle für den Inhaber des Fanshops einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $5 %$

Gib an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn $75$ Kunden angeben, dass sie die höheren Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte akzeptieren würden