Teilaufgabe a.)

Berechnen der Höhe des Wasserbeckens.

Das Wasserbecken hat die Form eines Zylinders. Damit die Höhe des Wasserbeckens berechnen werden kann, muss zuerst der Radius ${\mathrm{r}}_{\mathrm{Z}}$ des Zylinders berechnet werden.

Die Formel zur Berechnung des Volumeninhalts eines Zylinders lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}={\mathrm{r}}^2\cdot \mathrm{\pi }\cdot \mathrm{h}$

Auflösen der Formel nach $\text{h}$.

$\mathrm{h}={\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}}{{\mathrm{r}}^2\cdot \mathrm{\pi }}}$

Berechnen von ${\mathrm{r}}_{\mathrm{Z}}$ mithilfe des Kosinus.

Das farbig markierte Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck, mit den Katheten ${\mathrm{r}}_{\mathrm{Z}}$ und ${\mathrm{h}}_{\mathrm{k}}$ und der Hypotenuse $\text{S}$.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

${\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\alpha })$

Angewandt auf das farbige Dreieck:

${\displaystyle \frac{{\mathrm{r}}_{\mathrm{Z}}}{\mathrm{S}}}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\alpha })$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel.

${\displaystyle \frac{{\mathrm{r}}_{\mathrm{Z}}}{\mathrm{1,35}}}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(40°)\Rightarrow {\mathrm{r}}_{\mathrm{Z}}=\mathrm{1,35}\cdot \cos (40°)$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{Z}}=\mathrm{1,35}\cdot \mathrm{0,7660}$

$\underline{{\mathrm{r}}_{\mathrm{Z}}=\mathrm{1,03}\mathrm{m}}$

Berechnen von ${\mathrm{h}}_{\mathrm{Z}}$.

${\mathrm{h}}_{\mathrm{Z}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}}{{\mathrm{r}}_{\mathrm{Z}}^2\cdot \mathrm{\pi }}}$

${\mathrm{h}}_{\mathrm{Z}}={\displaystyle \frac{8}{{\mathrm{1,03}}^2\cdot \mathrm{\pi }}}\Rightarrow {\mathrm{h}}_{\mathrm{Z}}={\displaystyle \frac{8}{\mathrm{1,0609}\cdot \mathrm{\pi }}}$

$\underline{\underline{{\mathrm{h}}_{\mathrm{z}}=\mathrm{2,40}\text{ m}}}$

Die Höhe des Wasserbeckens beträgt $\mathrm{2,40}\text{ m}$.

Berechnen der Gesamthöhe des Wasserspeichers.

Die Gesamthöhe des Wasserspeichers setzt sich zusammen aus der Höhe des Wasserbeckens und der Höhe des kegelförmigen Daches (siehe Skizze Wasserspeicher).

Berechnen der Höhe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}$ mithilfe des Sinus.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

${\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\alpha })$

Angewandt auf das farbige Dreieck:

${\displaystyle \frac{{\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}}{\mathrm{S}}}=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\alpha })$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel.

${\displaystyle \frac{{\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}}{\mathrm{1,35}}}=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(40°)\Rightarrow {\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}=\mathrm{1,35}\cdot \sin (40°)$

${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}=\mathrm{1,35}\cdot \mathrm{0,6428}$

$\underline{{\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}=\mathrm{0,87}\mathrm{m}}$

Die Gesamthöhe beträgt dann:

${\mathrm{h}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}={\mathrm{h}}_{\mathrm{Z}}+{\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}\Rightarrow {\mathrm{h}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=\mathrm{2,40}+\mathrm{0,87}$

$\underline{\underline{{\text{ h}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=\mathrm{3,27}\text{ m}}}$

Der Wasserspeicher ist $\mathrm{3,27}\text{ m}$ hoch.

Teilaufgabe b.)

Berechnen der Fläche des benötigten Blechs.

Die Fläche des Blechs, die benötigt wird um das Blechdach zu ersetzen, entspricht der Mantelfläche des Kegels (siehe Skizze kegelförmiges Blechdach).

Die Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Kegels lautet:

${\mathrm{M}}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}=\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{s}\cdot \mathrm{\pi }\cdot \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{e}$

Die Mantellinie $\text{m}$ des kegelförmigen Blechdachs ist:

${\mathrm{m}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}=\mathrm{1,35}+\mathrm{0,15}$

$\underline{{\mathrm{m}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}=\mathrm{1,50}\text{ m}}$

Berechnen des Radius ${\mathrm{r}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}$ des Blechdachs mithilfe des Kosinus.

Das grüne Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck, in diesem Dreieck gilt:

${\displaystyle \frac{{\mathrm{r}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}}{\mathrm{1,50}}}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\alpha })$

Die Winkel $\mathrm{\alpha }$ und $\mathrm{\alpha }‘$ sind Stufenwinkel, Stufenwinkel sind gleich groß.

$\mathrm{\alpha }=\mathrm{\alpha }‘=40°$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}=\mathrm{1,50}\cdot \cos (40°)$

$\underline{{\mathrm{r}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}=\mathrm{1,15}\text{ m}}$

Berechnen der Mantelfläche des Blechdachs:

${\mathrm{M}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}={\mathrm{r}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}\cdot {\mathrm{m}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}\cdot \mathrm{\pi }$

${\mathrm{M}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}=\mathrm{1,15}\cdot \mathrm{1,50}\cdot \mathrm{\pi }$

$\underline{\underline{{\mathrm{M}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}=\mathrm{5,42}{\text{ m}}^2}}$

Es werden $\mathrm{5,42}{\text{ m}}^2$ Blech für das Blechdach benötigt.

Hinweis:

Der Radius ${\mathrm{r}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}$ kann auch mithilfe des 2. Strahlensatzes berechnet werden, nämlich:

${\displaystyle \frac{\mathrm{1,50}}{\mathrm{1,35}}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{r}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}}{{\mathrm{r}}_{\mathrm{Z}}}}\Rightarrow {\mathrm{r}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,50}\cdot {\mathrm{r}}_{\mathrm{Z}}}{\mathrm{1,35}}}$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,50}\cdot \mathrm{1,0342}}{\mathrm{1,35}}}$

$\underline{{\mathrm{r}}_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}}=\mathrm{1,15}\text{ m}}$

Berechnung der Mantelfläche des Blechdachs siehe oben.