Teil 1: ohne Hilfsmittel – Stochastik

1
$A$ und $B$ sind vereinbare Ereignisse des Ergebnisraums $Ω$ . (3 BE)
Venn-Diagramm
1. Geben Sie das im Venn-Diagramm grau markierte Ereignis $E_{1}$ möglichst einfach als Verknüpfung der Ereignisse $A$ und $B$ an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Venn-Diagramm
  Gib das im Venn-Diagramm grau markierte Ereignis $E_{1}$ möglichst einfach als Verknüpfung der Ereignisse $A$ und $B$ an
  $E_{1} = A \ B = A \cap B$
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  In einem Venn-Diagramm wird die Differenzmenge " $A$ ohne $B$ " ( $A \ B$ ) als der Bereich dargestellt, der alle Elemente der Menge A enthält, aber nicht die Elemente, die auch in Menge $B$ enthalten sind. Dies wird oft als der Teil von Kreis $A$ dargestellt, der sich nicht mit Kreis $B$ überschneidet.
2. Veranschaulichen Sie das Ereignis $E_{2} = A \cup B$ in einem Venn-Diagramm.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Venn-Diagramm
  Veranschauliche das Ereignis $E_{2} = A \cup B$ in einem Venn-Diagramm
  Die Aussage $A \cup B$ stellt die Vereinigung der Menge $A$ mit dem Komplement von $B$ dar. Das bedeutet, dass sie alle Elemente enthält, die entweder in $A$ liegen oder nicht in $B$ liegen (oder beides). In anderen Worten, es ist die Menge aller Elemente, die entweder in $A$ sind oder nicht in $B$ sind.
  Venn-Diagramm
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  Die Aussage $A \cup B$ stellt die Vereinigung der Menge $A$ mit dem Komplement von $B$ dar. Das bedeutet, dass sie alle Elemente enthält, die entweder in $A$ liegen oder nicht in $B$ liegen (oder beides). In anderen Worten, es ist die Menge aller Elemente, die entweder in $A$ sind oder nicht in $B$ sind.
2
Ein Handballspieler trainiert Siebenmeter-Würfe, wobei der Torhüter seines Vereins im Tor steht.
Erfahrungsgemäß trifft er bei $80 %$ seiner Würfe ins Tor.
1. Der Spieler führt zwei Siebenmeter-Würfe aus.
  Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
  $E_{3}$ : „Der Spieler trifft jedes Mal.“
  $E_{4}$ : „Der Spieler trifft mindestens einmal.“
  (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
  $E_{3}$ : „Der Spieler trifft jedes Mal.“
  Es ist $n = 2$ und $p = 0,80$ .
  Gesucht ist $P (E_{3}) = P (X = 2) = {0,8}^{2} = 0,64$ .
  $P ($ „Der Spieler trifft jedes Mal.“ $)$ $= 0,64$
  $E_{4}$ : „Der Spieler trifft mindestens einmal.“
  $P (E_{4}) = P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - {0,2}^{2} = 1 - 0,04 = 0,96$
  $P ($ „Der Spieler trifft mindestens einmal.“ $) = 0,96$
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  $E_{3} :$ Berechne $P (X = 2)$ .
  $E_{4} :$ Berechne $P (X \geq 1)$
2. Formulieren Sie zwei Ereignisse $E_{5}$ und $E_{6}$ im Sachzusammenhang, deren Wahrscheinlichkeiten sich wie folgt berechnen lassen:
  $P (E_{5}) = {0,8}^{20}$
  $P (E_{6}) = (\binom{50}{30}) \cdot {0,8}^{30} \cdot {0,2}^{20}$
  (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Formuliere zwei Ereignisse $E_{5}$ und $E_{6}$ im Sachzusammenhang
  $P (E_{5}) = {0,8}^{20}$ : Der Handballspieler wirft $20$ Mal und er trifft jedes Mal.
  $P (E_{6}) = (\binom{50}{30}) \cdot {0,8}^{30} \cdot {0,2}^{20}$ : Es ist $n = 50$ und $k = 30$ . Bei $50$ Würfen auf das Tor trifft der Handballspieler genau $30$ Mal.
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  $E_{5}$ : Es ist $n = 20$ und $p = 0,8$ . Was folgt daraus?
  $E_{6}$ : Es ist $n = 50$ und $k = 30$ . Was folgt daraus?
3
Einer Gruppe von fünf Jugendlichen werden zwei Freikarten für ein Rockkonzert zur
Verfügung gestellt. Um diese zu verteilen, werden nacheinander Lose gezogen, ohne
diese zurückzulegen. Jeder Jugendliche zieht dabei genau einmal. Neben den zwei
Gewinnlosen für die Freikarten befinden sich drei Nieten in der Lostrommel.
Entscheiden Sie unter Zuhilfenahme einer geeigneten Rechnung, ob der Zweite, der zieht, die gleiche Chance auf eine Freikarte hat wie der Erste.
(4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Entscheide unter Zuhilfenahme einer geeigneten Rechnung, ob der Zweite, der zieht, die gleiche Chance auf eine Freikarte hat wie der Erste
Abkürzung: $F$ =Freilos, $N$ =Niete
Es gibt $5$ Lose, zwei Gewinnlose und drei Nieten $\Rightarrow P (F) = \frac{2}{5}$
Das folgende Baumdiagramm verdeutlicht den Sachverhalt.
Baumdiagramm
$P ("Freikarte beim 2. Zug") = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$
Demnach gilt: $P (F) = P ("Freikarte beim 2. Zug") = \frac{2}{5}$
Beide habe die gleichen Chancen auf eine Freikarte.
Berechne (mithilfe eines Baumdiagramms) $P ("Freikarte beim 2. Zug")$ und vergleiche mit $P (F)$ .

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Teil 1: ohne Hilfsmittel – Stochastik

Gib das im Venn-Diagramm grau markierte Ereignis E1 möglichst einfach als Verknüpfung der Ereignisse A und B an

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Veranschauliche das Ereignis E2=A∪B in einem Venn-Diagramm

Venn-Diagramm

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Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

E3 : „Der Spieler trifft jedes Mal.“

E4 : „Der Spieler trifft mindestens einmal.“

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Formuliere zwei Ereignisse E5 und E6 im Sachzusammenhang

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Entscheide unter Zuhilfenahme einer geeigneten Rechnung, ob der Zweite, der zieht, die gleiche Chance auf eine Freikarte hat wie der Erste

Gib das im Venn-Diagramm grau markierte Ereignis $E_{1}$ möglichst einfach als Verknüpfung der Ereignisse $A$ und $B$ an

Veranschauliche das Ereignis $E_{2} = A \cup B$ in einem Venn-Diagramm

$E_{3}$ : „Der Spieler trifft jedes Mal.“

$E_{4}$ : „Der Spieler trifft mindestens einmal.“

Formuliere zwei Ereignisse $E_{5}$ und $E_{6}$ im Sachzusammenhang