Zeige, dass der Graph der Funktion $u$ streng monoton fallend ist

Gegeben ist $u(x)={\displaystyle \frac{2\ln (x)}{\ln (x)-1}}=2\cdot {\displaystyle \frac{\ln (x)}{\ln (x)-1}}$.

$u(x)=2\cdot {\displaystyle \frac{\ln (x)}{\ln (x)-1}}=2\cdot {\displaystyle \frac{\ln (x)-1+1}{\ln (x)-1}}=2\cdot (1+{\displaystyle \frac{1}{\ln (x)-1}})$

Dann ist: $${\displaystyle \underset{x\to e}{\lim }u(x)={\displaystyle \underset{x\to e}{\lim }2\cdot (1+{\displaystyle \frac{1}{\underset{\to 0}{\underbrace{\ln (x)-1}}}})=+\infty }}$$

und $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }u(x)={\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }2\cdot (1+{\displaystyle \frac{1}{\underset{\to \infty }{\underbrace{\ln (x)-1}}}})=2}}$$

Demnach ist der Graph der Funktion $u$ für $x\in ]e;+\infty [$ streng monoton fallend, da $\ln (x)-1$ streng monoton steigend ist.

Ermittle einen Term der Umkehrfunktion von $u$

Gegeben ist $y={\displaystyle \frac{2\ln (x)}{\ln (x)-1}}$.

Vertausche $x$ mit $y$ und löse nach $y$ auf.

Der Term der Umkehrfunktion von $u$ ist $u^{-1}(x)=e^{\frac{x}{x-2}}$.