• Berechne die Länge der Strecke $\overline{DF}$.

1. Schritt:

Berechne die Länge der Strecke $\overline{AE}$.

Berechne zunächst die Länge der Strecke $\overline{AC}$.

Verwende hierfür die Formel für den Kosinus. $${\displaystyle \cos (\alpha )=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}$$

$${\displaystyle \cos (\alpha )=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}}$$

$${\displaystyle \cos (\alpha )\cdot \overline{AC}=\overline{AB}}$$

$${\displaystyle \overline{AC}=\frac{\overline{AB}}{cos(\alpha )}}$$

$${\displaystyle \overline{AC}=\frac{\mathrm{13,2}\text{ cm}}{cos(55°)}}$$

$\overline{AC}=\mathrm{23,01}\text{ cm}$

Die Länge der Strecke $\overline{AC}$ beträgt $\mathrm{23,01}\text{ cm}$.

$\overline{AE}=\overline{AC}-\overline{CE}$

$\overline{AE}=\mathrm{23,01}\text{ cm}-\mathrm{8,0}\text{ cm}=\mathrm{15,01}\text{ cm}$

Die Länge der Strecke $\overline{AE}$ beträgt $\mathrm{15,01}\text{ cm}$.

2. Schritt: Berechne nun die Länge der Strecke $\overline{DF}$.

Das Dreieck $ECF$ ist gleichschenklig, denn

$\sphericalangle \mathrm{ECF}=180°-90°-55°=35°$

$\sphericalangle \mathrm{AED}=180°-55°-55°=70°$

$\sphericalangle \mathrm{FEC}=180°-70°=110°$

$\sphericalangle \mathrm{CFE}=180°-110°-35°=35°$

$\sphericalangle \mathrm{ECF}=\sphericalangle \mathrm{CFE}$ und somit ist das Dreieck $ECF$ gleichschenklig.

$\Rightarrow$ $\overline{CF}=\overline{CE}=8\text{ cm}$

Laut Angabe ist das Dreieck $ADE$ gleichschenklig.

$\Rightarrow$ $\overline{DE}=\overline{AE}=\mathrm{15,01}\text{ cm}$

$\overline{DF}=\overline{DE}-\overline{EF}$

$=\mathrm{15,01}\text{ cm}-\mathrm{8,0}\text{ cm}$

$=\mathrm{7,01}\text{ cm}$

Die Länge der Strecke $\overline{DF}$ beträgt $\mathrm{7,01}\text{ cm}$.

• Berechne den Umfang des Vierecks$\text{ABFE}$.

1. Schritt:

Berechne die Länge der Strecke $\overline{BF}$.

Verwende hierfür die Formel für den Sinus. $${\displaystyle \sin (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}$$

$${\displaystyle \sin (\alpha )=\frac{\overline{BF}}{\overline{DF}}}$$

$${\displaystyle \sin (\alpha )\cdot \overline{DF}=\overline{BF}}$$

$${\displaystyle \sin (55°)\cdot 7\text{ cm}=\overline{BF}}$$

$\mathrm{5,73}\text{ cm}\approx \overline{BF}$

Die Länge der Strecke $\overline{BF}$ beträgt ungefähr $\mathrm{5,73}\text{ cm}$.

2. Schritt:

Berechne nun den Umfang des Vierecks$\text{ABFE}$.

$U=\overline{AB}+\overline{BF}+\overline{EF}+\overline{AE}$

$=\mathrm{13,2}\text{ cm}+\mathrm{5,73}\text{ cm}+\mathrm{8,0}\text{ cm}+\mathrm{15,01}\text{ cm}$

$=\mathrm{41,94}\text{ cm}$

Der Umfang des Vierecks$\text{ABFE}$ beträgt $\mathrm{41,94}\text{ cm}$.

• Erstelle die Funktionsgleichung der Parabel $p$.

$p:y=x^2+bx+c$

Setze jeweils $A$ und $B$ in $p$ ein.

(I) $-8=1^2+b\cdot 1+c$

(II) $-8=3^3+b\cdot 3+c$

(I) $-8=1+b+c$

(II) $-8=9+3b+c$

$(I)$ $c=-9-b$

Setzte $c$ in (II) ein

(II) $-8=9+3b+(-9-b)$

(II) $-8=9+3b-9-b$

(II) $-8=2b$

(II) $b=-4$

Setze $b$ in (I) ein.

(I) $-8=1+(-4)+c$

(I) $-8=1-4+c$

(I) $c=-5$

Die Funktionsgleichung der Parabel lautet: $p:y=x^2-4x-5$.

• Die Schnittpunkte der Parabel $\text{p}$ mit der $\text{x}$-Achse und die Punkte $\text{A}$ und $\text{B}$ bilden ein Viereck. Berechne den Flächeninhalt dieses Vierecks.

Hierfür benötigst du zunächst die Koordinaten der Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ der Parabel $p$ mit der x-Achse.

Für die Berechnung verwende die pq-Formel.

$x^2-4x-5=0$

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=-\frac{(-4)}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{(-4)}{2}\right)}^2+5}}$$

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=2\pm \sqrt{(-2{)}^2+5}}$$

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=2\pm 3}$$

$x_1=2-3=-1$

$x_2=2+3=5$

Die beiden Schnittpunkte sind $S_1(-1|0)$ und $S_2(5|0)$.

Bei dem Viereck handelt es sich um ein symmetrisches Trapez.

$${\displaystyle A=\frac{(a+c)}{2}\cdot h}$$

$${\displaystyle A=\frac{6LE+2LE}{2}\cdot 8LE}$$

$A=32FE$

Das Viereck hat einen Flächeninhalt von $32FE$.

• Die Geraden $g$ und $h$ verlaufen jeweils auf den Diagonalen des Vierecks. Sie schneiden sich im Punkt $\text{Q}$.

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $\text{Q}$.

1. Schritt:

Stelle die Gleichung für die Gerade $g$ auf.

$g:y=m_{g}x+c_g$

Setze jeweils die Punkte $A(1|-8)$ und $S_2(5|0)$ in $g$ ein.

(I) $-8=m_g\cdot 1+c_g$

(II) $0=m_g\cdot 5+c_g$

Subtrahiere (I) - (II):

$-8=-4m_g$

$m_g=2$

Setze $m_g$ in (I) ein:

$-8=2+c_g$

$c_g=-10$

$\Rightarrow$ Die Geradengleichung für $g$ lautet: $g:y=2x-10$

2. Schritt:

Stelle die Gleichung für die Gerade $h$ auf.

Die Steigung von $h$ ist durch die Symmetrie gegeben$\Rightarrow$ $m_h=-2$

$h:y=-2x+c_h$

Setze $S_1(1|0)$ in $h$ ein:

$0=-2\cdot (-1)+c_h$

$c_h=-2$

$\Rightarrow$ Die Geradengleichung für $h$ lautet: $h:y=-2x-2$

3. Schritt:

Ermittle den Schnittpunkt: Setze $g=h$

Setze $x=2$ in $g$ ein:

$y=2\cdot 2-10$

$y=-6$

Die Koordinaten des Schnittpunktes lauten $Q(2|-6)$.