Wahlteil-GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3A

Betrachtet wird ein gerades Prisma

mit den Eckpunkten $A, B, C, D, E$

und $F$ . Seine Grundfläche ist das

Dreieck $A B C$ .

$𝐴 (- 2 | 0 | 0)$ , $𝐵 (2 | 0 | 0)$ , $𝐶 (0 | 8 | 0)$ ,

$𝐷 (- 2 | 0 | 4)$ , $𝐸 (2 | 0 | 4)$ und $𝐹 (0 | 8 | 4)$ .

Abbildung 1 zeigt die Kante $B C$ des Prismas.
Zeichnen Sie das Prisma in Abbildung 1 ein und berechnen Sie das Volumen des Prismas. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
Zeichne das Prisma in Abbildung 1 ein und berechne das Volumen des Prismas
Prisma
Das Dreieck $A B C$ ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $A B$ und der Höhe $O C$ $\Rightarrow A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16$ .
Die Höhe des Prismas ist $h = 4$ .
$V = A_{△} \cdot h = 16 \cdot 4 = 64$
Das Volumen des Prismas beträgt $64 VE$ .
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Teil 1
Zeichne die gegebenen Punkte in die Abbildung ein und verbinde sie zu einem Prisma.
Teil 2
Das Dreieck $A B C$ ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $A B$ und der Höhe $O C$ . Die Höhe des Prismas ist $h = 4$ $\Rightarrow$ $V = A_{△} \cdot h$
Die Seitenfläche $𝐵 𝐶 𝐹 𝐸$ liegt in der Ebene $𝐻$ .
Bestimmen Sie eine Gleichung von $𝐻$ .
Geben Sie die Koordinaten eines weiteren Punktes auf der Seitenfläche $𝐵 𝐶 𝐹 𝐸$ an.
$[$ Zur Kontrolle: $H : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 8 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}); s, t \in ℝ]$ [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus drei Punkten
Bestimme eine Gleichung von $𝐻$
$E_{B C E} : \vec{x} = \vec{O B} + r \cdot \vec{B C} + s \cdot \vec{B E} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 - 2 \\ 8 - 0 \\ 0 - 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 - 2 \\ 0 - 0 \\ 4 - 0 \end{array})$
$E_{B C E} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 8 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) ✓$
Gib die Koordinaten eines weiteren Punktes auf der Seitenfläche $𝐵 𝐶 𝐹 𝐸$ an
Setze für $r$ und $s$ Werte ein, für die gilt: $0 \leq r, s \leq 1$ .
Z.B. mit $r = 0$ und $s = \frac{1}{2} \Rightarrow \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + 0 \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 8 \\ 0 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array})$ .
Die Koordinaten eines weiteren Punktes auf der Seitenfläche $𝐵 𝐶 𝐹 𝐸$ sind z.B. $(2 | 0 | 2)$ .
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Teil 1
Berechne $E_{B C E} : \vec{x} = \vec{O B} + r \cdot \vec{B C} + s \cdot \vec{B E}$ .
Teil 2
Setze für $r$ und $s$ Werte ein, für die gilt: $0 \leq r, s \leq 1$ .
Die Ebene $𝐻$ liegt parallel zu einer der drei Koordinatenachsen.
Geben Sie diese Achse an und begründen Sie Ihre Angabe anhand der Gleichung dieser Ebene. [2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
Gib diese Achse an und begründe Deine Angabe anhand der Gleichung dieser Ebene
Ein Richtungsvektor der Ebene $H$ ist der Vektor $(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array})$ . Dieser Vektor verläuft parallel zur $x_{3}$ -Achse. Die gesuchte Achse ist also die $x_{3}$ -Achse.
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Ein Richtungsvektor der Ebene $H$ ist der Vektor $(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array})$ .
Im Folgenden wird die Gerade $𝑔$ mit der Gleichung
$\vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 12 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}); t \in ℝ$ betrachtet.
Des Weiteren wird der Punkt $𝐹$
durch den Punkt $𝐹_{𝑡} (0 | 𝑡 | 12 - 𝑡)$
mit $0 < 𝑡 \leq 8$ ersetzt. Für jeden
Wert von $𝑡$ liegt der Punkt $𝐹_{𝑡}$ auf der Gerade $𝑔$ (vgl. Abbildung 2).
Mit $𝑀$ wird der Mittelpunkt der Basis $D E$ des gleichschenkligen Dreiecks $𝐸 𝐹_{𝑡} 𝐷$ bezeichnet.
Abbildung 2
Zeigen Sie rechnerisch, dass für 𝑡 = 4 die Strecke $M F_{t}$ senkrecht auf der Gerade $𝑔$ steht. [2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Zeige rechnerisch, dass für 𝑡 = 4 die Strecke $M F_{t}$ senkrecht auf der Geraden $𝑔$ steht
Es sind $M (0 | 0 | 4)$ und $𝐹_{4} (0 | 4 | 12 - 4) \Rightarrow 𝐹_{4} (0 | 4 | 8)$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 12 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$
$\Rightarrow \vec{M F_{4}} = \vec{O F_{4}} - \vec{O M} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 8 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 4 \end{array})$
$\vec{M F_{4}} \circ {\vec{u}}_{g} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = 0 + 4 - 4 = 0 \Rightarrow \vec{M F_{4}} ⟂ g$
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Gib $F_{4}$ und $\vec{M F_{4}}$ an.
Zeige $\vec{M F_{4}} \circ {\vec{u}}_{g} = 0$ .
Begründen Sie ohne Rechnung, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $𝐸 𝐹_{𝑡} 𝐷$ für $𝑡 = 4$ am kleinsten ist. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Begründe ohne Rechnung, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $𝐸 𝐹_{𝑡} 𝐷$ für $𝑡 = 4$ am kleinsten ist
Für jedes $t$ ist $D E$ die Basis und $M F_{t}$ ist die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks $E F_{t} D$ . Für $t = 4$ ist $\vec{M F_{4}} ⟂ g$ (wie in Aufgabe d) gezeigt wurde).
Das Dreieck $E F_{t} D$ besitzt für diesen $t$ -Wert die kleinste Höhe (senkrechter Abstand) und damit auch den kleinsten Flächeninhalt.
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Es gilt: für $t = 4$ ist $\vec{M F_{4}} ⟂ g$ .
Das Dreieck $E F_{t} D$ besitzt für diesen $t$ -Wert die kleinste Höhe.

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Aufgabe 3A

Zeichne das Prisma in Abbildung 1 ein und berechne das Volumen des Prismas

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Bestimme eine Gleichung von 𝐻

Gib die Koordinaten eines weiteren Punktes auf der Seitenfläche 𝐵𝐶𝐹𝐸 an

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Gib diese Achse an und begründe Deine Angabe anhand der Gleichung dieser Ebene

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Zeige rechnerisch, dass für 𝑡 = 4 die Strecke MFt senkrecht auf der Geraden 𝑔 steht

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Begründe ohne Rechnung, dass der Flächeninhalt des Dreiecks 𝐸𝐹𝑡𝐷 für 𝑡=4 am kleinsten ist

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Bestimme eine Gleichung von $𝐻$

Gib die Koordinaten eines weiteren Punktes auf der Seitenfläche $𝐵 𝐶 𝐹 𝐸$ an

Zeige rechnerisch, dass für 𝑡 = 4 die Strecke $M F_{t}$ senkrecht auf der Geraden $𝑔$ steht

Begründe ohne Rechnung, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $𝐸 𝐹_{𝑡} 𝐷$ für $𝑡 = 4$ am kleinsten ist