Wahlteil-GTR

Begründe, dass zu Beobachtungsbeginn das Wasservolumen im Auffangbecken $190{\text{ m}}^3$ beträgt

Es ist $v(x)=-{\displaystyle \frac{5}{2}}{x}^4+{\displaystyle \frac{50}{3}}{x}^3+190$. Setze $t=0$ in $v(x)$ ein:

$\Rightarrow v(0)=190$

Zu Beobachtungsbeginn beträgt das Wasservolumen im Auffangbecken $190{\text{ m}}^3$.

Berechne das Volumen des Wassers, das in den ersten $\mathrm{1,5}\text{ h}$ nach Beobachtungsbeginn in das Auffangbecken fließt

Setze $t=\mathrm{1,5}$ in $v(x)$ ein:

$v(\mathrm{1,5})=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\cdot {\mathrm{1,5}}^4+{\displaystyle \frac{50}{3}}\cdot {\mathrm{1,5}}^3+190\approx \mathrm{233,6}$

Da zu Beobachtungsbeginn das Wasservolumen im Auffangbecken $190{\text{ m}}^3$ beträgt, muss dieser Wert von $v(\mathrm{1,5})$ abgezogen werden.

$\text{Zufluss}=v(\mathrm{1,5})-190\approx \mathrm{43,6}$

Das Volumen des Wassers, das in den ersten $\mathrm{1,5}\text{ h}$ nach Beobachtungsbeginn in das Auffangbecken fließt, beträgt rund $44{\text{ m}}^3$.

Zeige, dass die momentane Änderungsrate des Volumens des Wassers im Auffangbecken in ${\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$ für den betrachteten Zeitraum durch $r$ beschrieben werden kann

$v(x)=-{\displaystyle \frac{5}{2}}{x}^4+{\displaystyle \frac{50}{3}}{x}^3+190$, berechne $v^{\prime }(x)$:

$v^{\prime }(x)=-10x^3+50x^2=50x^2-10x^3=r(x)$

Weise anhand des gegebenen Terms von $r$ nach, dass für den durch $0<x<5$ beschriebenen Zeitraum das Volumen des Wassers im Auffangbecken zu keinem Zeitpunkt abnimmt

$r(x)=10x^2\cdot (5-x)$

Betrachtet man die beiden Terme von r(x), dann gilt für $0<𝑥<5$, dass die Faktoren $10{𝑥}^2$ und $5-𝑥$ nie negativ werden. Damit ist auch $𝑟(𝑥)$ nie negativ.

Somit ist $𝑣$ in $0<𝑥<5$ streng monoton wachsend und das Volumen des Wassers nimmt im beschriebenen Zeitraum nicht ab.

Gib die Bedeutung von $t$ im Sachzusammenhang an und erläutere den Aufbau der Gleichung in Bezug auf diese Bedeutung

$$190+{\displaystyle {\int }_0^{2}r(x)\mathrm{d}x+{\displaystyle {\int }_2^t(r(x)-100)\mathrm{d}x=400}}$$

$𝑡$ ist der Zeitpunkt, zu dem sich $400{\mathrm{m}}^3$ Wasser im Wasserbecken befinden würden, wenn nach zwei Stunden die Pumpe eingeschaltet werden würde.

Die beiden ersten Summanden beschreiben das Wasservolumen im Becken in ${\mathrm{m}}^3$ zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn.

Zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn wird eine Pumpe eingeschaltet, die Wasser aus dem Auffangbecken mit einer konstanten Rate von $100{\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$ abpumpt.

Die Differenzfunktion $𝑟(𝑥)-100$ beschreibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens bei laufender Pumpe in ${\displaystyle \frac{{\text{ m}}^3}{\text{ h}}}$.

Der Term $${\displaystyle {\int }_2^{𝑡}(𝑟(𝑥)-100)\mathrm{d}x}$$ beschreibt daher die Änderung des Wasservolumens bei laufender Pumpe in ${\mathrm{m}}^3$ bis zum Zeitpunkt $t$.

Weise nach, dass $x_W$ eine Wendestelle von $f$ ist

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{\prime \prime }(x)=0$.

$f^{\prime }(x)=2x(x-5)(2x-5)=4x^3-30x^2+50x\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)=12x^2-60x+50$

Berechne $f^{\prime \prime }(x_W)$:

$f^{\prime \prime }\left({\displaystyle \frac{15-5\sqrt{3}}{6}}\right)=0$

Eine Wendestelle liegt bei $x_W={\displaystyle \frac{15-5\sqrt{3}}{6}}$ vor, wenn die hinreichende Bedingung $f^{\prime \prime \prime }(x)\ne 0$ erfüllt ist.

Berechne $f^{\prime \prime \prime }(x_W)$:

$f^{\prime \prime \prime }(x_W)\approx -\mathrm{34,6}\ne 0$

Damit ist gezeigt, dass $x_W$ eine Wendestelle von $f$ ist.

Berechne den Inhalt dieses Flächenstücks

Gegeben: $x_W={\displaystyle \frac{15-5\sqrt{3}}{6}}$ und $f(x)=x^2(x-5{)}^2$

Berechne das Integral $${\displaystyle {\int }_0^{x_W}(f(x_W)-f(x))\mathrm{d}x}$$:

$${\displaystyle {\int }_0^{x_W}(f(x_W)-f(x))\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_0^{x_W}f(x_W)\mathrm{d}x-{\displaystyle {\int }_0^{x_W}f(x)\mathrm{d}x}}}$$

$$f(x_W)\approx \mathrm{17,361}\Rightarrow {\displaystyle {\int }_0^{x_W}\mathrm{17,361}\mathrm{d}x\approx \mathrm{18,344}}$$

$${\displaystyle {\int }_0^{x_W}f(x)\mathrm{d}x\approx \mathrm{6,978}}$$

$\Rightarrow$$${\displaystyle {\int }_0^{x_W}(f(x_W)-f(x))\mathrm{d}x\approx \mathrm{18,344}-\mathrm{6,978}\approx \mathrm{11,4}}$$

Der Inhalt dieses Flächenstücks beträgt rund $\mathrm{11,4}\mathrm{FE}$.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Skizziere das symmetrische Trapez für $u=\mathrm{1,5}$ in der Abbildung 1

$A(\mathrm{1,5}|f(\mathrm{1,5}))\Rightarrow A(\mathrm{1,5}|\mathrm{27,56}),$$B(1|0)$, $C(4|0)$ und

$D(5-u|f(5-u))=D(5-\mathrm{1,5}|f(5-\mathrm{1,5}))=D(\mathrm{3,5}|f(\mathrm{3,5}))\Rightarrow D(\mathrm{3,5}|\mathrm{27,56})$

Ermittle einen Term, der den Flächeninhalt des symmetrischen Trapezes in Abhängigkeit von $u$ angibt

$A={\displaystyle \frac{a+c}{2}}\cdot h$

$a=\overline{BC}=3,c=\overline{AD}=(5-u)-u=5-2u,h=f(u)$

Setze in $A$ ein:

$\Rightarrow A={\displaystyle \frac{3+5-2u}{2}}\cdot f(u)={\displaystyle \frac{8-2u}{2}}\cdot f(u)=(4-u)\cdot f(u)$

Der Term, der den Flächeninhalt des symmetrischen Trapezes in Abhängigkeit von $u$ angibt, lautet ${\displaystyle \frac{3+5-2u}{2}}\cdot f(u)$ oder $(4-u)\cdot f(u)$.

Gib die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse an

Gegeben ist $f(x)={\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot (x-6)\cdot e^{-\mathrm{0,17}x+6}$.

Für den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse berechne $f(0)$.

$f(0)={\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot (0-6)\cdot e^{-\mathrm{0,17}\cdot 0+6}=-{\displaystyle \frac{6}{100}}\cdot e^6\approx \mathrm{24,2}\Rightarrow S_y(0|\mathrm{24,2})$

Untersuche das Verhalten von $𝑓$ für $x\to -\infty$ und $x\to \infty$

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)={\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\underset{\to -\infty }{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot (x-6)}}\cdot \underset{\to +\infty }{\underbrace{e^{-\mathrm{0,17}x+6}}}=-\infty }}$$

$${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }f(x)={\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\underset{\to -\infty }{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot (x-6)}}\cdot \underset{\to 0}{\underbrace{e^{-\mathrm{0,17}x+6}}}=0}}$$, die e-Funktion geht stärker gegen null als $x$ gegen unendlich.

Gib die sich daraus ergebenden Eigenschaften des Graphen von $f$ im Punkt $\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right|f\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right))$ an

$f^{\prime \prime }(x)=0\iff x={\displaystyle \frac{302}{17}}$ und $f^{\prime \prime \prime }\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right)\ne 0$ ergeben eine Wendestelle bei $x={\displaystyle \frac{302}{17}}$.

Der Graph von $f$ hat im Punkt $\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right|f\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right))$ einen Wendepunkt.

$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{302}{17}}\right)<0$, die Steigung im Wendepunkt ist negativ.

Bestimme eine Gleichung dieser Geraden

Bekannt: Der Graph von $f$ schließt mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein.

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot (x-6)\cdot e^{-\mathrm{0,17}x+6}\Rightarrow$ für $x=6$ ist $f(6)=0$.

Die Integrationsgrenzen für die Flächenberechnung sind also $x=0$ und $x=6$.

Löse die Gleichung $${\displaystyle {\int }_0^{6}f(x)\mathrm{d}x=2\cdot {\displaystyle {\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x}}$$.

Für $0\le a\le 6$ ist die Lösung der Gleichung $a\approx \mathrm{1,39}$.

Die Gleichung dieser Geraden lautet $x=\mathrm{1,39}$.

Berechne die Wartezeit für einen Anruf um 9: 00 Uhr

Gegeben ist $w(x)=(x-6)\cdot e^{-\mathrm{0,17}x+6}.$

Lasse Dir den Wert $w(9)$ mit dem GTR-Rechner anzeigen:

$w(9)\approx \mathrm{262,070169}$

Die Wartezeit für einen Anruf um $9:00$ Uhr beträgt rund $262$ Sekunden.

Bestimme die Uhrzeit dieses Anrufs auf eine Minute genau

Löse die Gleichung $w(x)=200$, indem Du die Schnittpunkte zwischen $G_w$ und $y=200$ bestimmst.

Du erhältst mit dem GRT-Rechner die beiden Lösungen $x_1\approx \mathrm{7,898495139}$ und $x_2\approx \mathrm{19,38885424}$.

Da die Wartezeit an einem bestimmten Tag für die Zeitpunkte von $8:00$ Uhr bis einschließlich 22: 00 Uhr beschrieben wird, entfällt die Lösung $x_1$.

Zu der Lösung $x_2\approx \mathrm{19,39}$ gehört die Uhrzeit $19:23$.

Der Anruf erfolgte also um $19:23$ Uhr.

Ermittle rechnerisch für den Zeitraum von 8: 00 Uhr bis einschließlich 22: 00 Uhr den Zeitpunkt eines Anrufs, zu dem die Wartezeit am längsten ist

Löse die Gleichung $w^{\prime }(x)=0$:

Der Graph der Ableitungsfunktion schneidet die x-Achse bei $x_1\approx \mathrm{11,88235294}$$\Rightarrow w(x_1)\approx \mathrm{314,81}$.

Die längste Wartezeit ist etwa $\mathrm{11,88}$ Stunden nach $0:00$ Uhr, also um $11:53$ Uhr.

(Die Wartezeit beträgt rund 315 Sekunden.)

Ermittle rechnerisch den Zeitpunkt eines Anrufs, zu dem die Wartezeit am kürzesten ist

Betrachte die Grenzen $8:00$ Uhr und $22:00$ Uhr.

$w(8)\approx \mathrm{207,09}$ und $w(22)\approx 153,33$

Die kürzeste Wartezeit: $22:00$ Uhr.

Bestimme durch geeignete Eintragungen in der Abbildung jeweils einen möglichen Wert für $a$ und $b$, sodass zwischen den zugehörigen Zeitpunkten die durchschnittliche Wartezeit $250$ Sekunden beträgt

Beschreibe Dein Vorgehen

$G_w$ schneidet $y=250$ bei etwa $17$. Die gesuchten Werte für $a$ und $b$ müssen also links und rechts von $17$ liegen.

Wählt man z.B. $a\approx 14$, dann liegt der Wert von $b$ bei etwa $\mathrm{19,5}$.

Also sind mögliche Werte $a\approx 14$ und $b\approx \mathrm{19,5}$.

Vorgehen

• Zeichne einen Ausschnitt der Geraden $𝑔:𝑦=250$.

• Markiere auf der $x$-Achse die Stellen $𝑎$ und $𝑏$, sodass die Fläche zwischen dem Graphen von $𝑤$, der Gerade $𝑔$ sowie den Geraden mit den Gleichungen $𝑥=𝑎$ und $𝑥=𝑏$ aus zwei Flächenstücken gleichen Inhalts besteht.

Hinweis: Die Angabe des Flächeninhalts ist nicht gefordert.

Stelle den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar

Bekannt: $\mathrm{𝟕𝟐}\%$ der Personen sind jünger als $50$ Jahre. $\mathrm{𝟏𝟖}\%$ der Personen sind jünger als $50$ Jahre und wohnen nicht in einer Großstadt.

Der Anteil der Personen, die in einer Großstadt wohnen, beträgt $\mathrm{𝟕𝟓}\%$.

𝐽: „Die Person ist jünger als 50 Jahre.“

𝐺: „Die Person wohnt in einer Großstadt.“

$P(G\cap J)=\mathrm{0,72}-\mathrm{0,18}=\mathrm{0,54}$

$P(G\cap \overline{J})=\mathrm{0,72}-\mathrm{0,54}=\mathrm{0,21}$

$P(\overline{G}=1-\mathrm{0,75}=\mathrm{0,25}$

$P(\overline{G}\cap \overline{J})=\mathrm{0,25}-\mathrm{0,18}=\mathrm{0,07}$

$P(\overline{J}=1-\mathrm{0,72}=\mathrm{0,28}$

Beurteile die folgende Aussage: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person entweder in einer Großstadt wohnt oder nicht jünger als $50$ Jahre ist, ist kleiner als $60\%$

Gesucht: Entweder $G$ oder $\overline{J}$$\Rightarrow$Genau eines der beiden Ereignisse tritt ein.

Entnimm die Werte aus der Vierfeldertafel und berechne $(G\cap J)\cup (\overline{G}\cap \overline{J})$:

$(G\cap J)\cup (\overline{G}\cap \overline{J})=\mathrm{0,54}+\mathrm{0,07}=\mathrm{0,61}>\mathrm{0,6}\Rightarrow$die Aussage ist falsch.

Gib den Wert des Terms an

Gegeben: $${\displaystyle \sum _{k=40}^{110}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{160}{k}\right)\cdot {\mathrm{0,75}}^k\cdot {\mathrm{0,25}}^{160-k}\approx \mathrm{0,0438}}$$

Der Wert des Terms ist etwa $\mathrm{0,04}$.

Gib die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an

Es ist $n=160$, d.h. in einem Zufallsexperiment werden 160 Personen zufällig ausgewählt.

Berechnet wird $P(40\le X\le 110)$ mit $n=160$ und $p=\mathrm{0,75}$, d.h. es geht um Personen, die in einer Großstadt wohnen.

Mit dem Term kann die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass von

$160$ zufällig ausgewählten Personen mindestens $40$ und höchstens $110$ Personen in einer Großstadt wohnen.

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer der Produktion entnommenen Kiste höchstens sechs Gläser den Mangel aufweisen, etwa $\mathrm{0,77}$ beträgt

Gegeben: Jede Kiste enthält $50$ Gläser$\Rightarrow n=50$. Ein Glas weist mit einer Wahrscheinlichkeit von $10\%$ einen optischen Mangel auf$\Rightarrow p=\mathrm{0,1}$.

Gesucht: $P(X\le 6)=F(50;\mathrm{0,1};6)\approx \mathrm{0,77}✓$

Ermittle den geringsten Preis pro Glas mit veganem Brotaufstrich auf Cent genau, sodass die Naturkostkette im Mittel einen Gewinn von mindestens $\mathrm{0,50}€$ pro Glas erwarten kann

Es ist $x$ der Preis für $1$ Glas in $€$. Für die Naturkostkette belaufen sich die Gesamtkosten auf $\mathrm{2,00}€$ pro Glas.

$\Rightarrow$ Gewinn pro Glas $x-2$ in $€$.

Wenn höchstens sechs Gläser diesen Mangel aufweisen, so muss für die Kiste der vollständige Preis bezahlt werden. Hier ist $p=\mathrm{0,77}\Rightarrow$Erwartungswert ist $(x-2)\cdot \mathrm{0,77}$

Wenn genau sieben oder genau acht Gläser diesen Mangel aufweisen, so muss für die Kiste der halbe Preis bezahlt werden. Hier ist $p=\mathrm{0,17}\Rightarrow$Erwartungswert ist $(\mathrm{0,5}x-2)\cdot \mathrm{0,17}$

Wenn mehr als acht Gläser diesen Mangel aufweisen, so muss für die Kiste nichts bezahlt werden. Hier ist $p=1-\mathrm{0,77}-\mathrm{0,17}=1-\mathrm{0,94}=\mathrm{0,06}\Rightarrow$Erwartungswert ist $(0\cdot x-2)\cdot \mathrm{0,06}=-\mathrm{0,12}$

Alle drei Erwartungswerte addiert sollen einen Gewinn von mindestens $\mathrm{0,50}€$ ergeben:

Da im Mittel ein Gewinn von mindestens $\mathrm{0,50}€$ pro Glas erzielt werden soll, muss hier aufgerundet werden.

Das ergibt also einen Preis von $\mathrm{2,93}€$ pro Glas.

Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Spielzug eine Ereigniskarte aufgedeckt wird, ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ beträgt

Augensumme $8$ oder $9$ $\Rightarrow (\mathrm{2,6}),(\mathrm{6,2}),(\mathrm{3,5}),(\mathrm{5,3}),(\mathrm{4,4})$ oder $(\mathrm{3,6}),(\mathrm{6,3}),(\mathrm{4,5}),(\mathrm{5,4})$.

Es gibt also insgesamt $9$ günstige Ereignisse von $36$ möglichen Ereignissen.

$\Rightarrow p={\displaystyle \frac{9}{36}}={\displaystyle \frac{1}{4}}✓$

Betrachtet werden die ersten fünf Spielzüge. Beschreibe im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term ${\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^5+{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^5$ berechnet werden kann

In den ersten fünf Spielzügen werden fünf Ereigniskarten aufgedeckt $(p={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^5)$ oder es wird keine Ereigniskarte $(p=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow {\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^5)$ aufgedeckt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Laufe dieses Spiels weniger als zwölf Ereigniskarten aufgedeckt werden

Gegeben: $n=60$ und $p=\mathrm{0,25}$.

Gesucht: $P(X<12)=P(X\le 11)=F(60;\mathrm{0,25};11)\approx \mathrm{0,1182}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Laufe dieses Spiels weniger als zwölf Ereigniskarten aufgedeckt werden, beträgt etwa $\mathrm{0,12}$.

Skaliere in der Abbildung die beiden Achsen, indem Du jeweils einen geeigneten Wert ermittelst und diesen auf der zugehörigen Achse einträgst

Der größte Wert in der Abbildung ist der Erwartungswert $E(X)$.

$E(X)=n\cdot p=60\cdot \mathrm{0,25}=15$$\Rightarrow$ Eintrag auf der $x$-Achse.

Dann ist $P(X=15)=B(60;\mathrm{0,25};15)\approx \mathrm{0,1182}$.

Der größte Wert wird auf der $y$-Achse eingetragen, bei etwa $\mathrm{0,12}$.

Ermittle die Anzahl der verschiedenen Plättchen, die es bei diesem Spiel höchstens geben kann

Bekannt: Es gibt drei verschiedene Landschaftssymbole und zwei verschiedene Tiersymbole. Auf jedem Plättchen sind genau zwei Landschaftssymbole und ein oder zwei Tiersymbole abgebildet, wobei kein Symbol doppelt vorkommt.

Wähle aus den $3$ Landschaftssymbolen $2$ aus$\Rightarrow \left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)=3$.

Wähle aus den zwei Tiersymbolen $1$ oder $2$ aus$\Rightarrow (2+1)=3$ Möglichkeiten.

Also insgesamt $3\cdot 3=9$ Möglichkeiten.

Zeichne das Prisma in Abbildung 1 ein und berechne das Volumen des Prismas

Das Dreieck $ABC$ ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{AB}$ und der Höhe $\overline{OC}$ $\Rightarrow A_{△}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 4\cdot 8=16$.

Die Höhe des Prismas ist $h=4$.

$V=A_{△}\cdot h=16\cdot 4=64$

Das Volumen des Prismas beträgt $64\mathrm{VE}$.

Bestimme eine Gleichung von $𝐻$

$E_{BCE}:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{BC}+s\cdot \overrightarrow{BE}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0-2\\ 8-0\\ 0-0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2-2\\ 0-0\\ 4-0\end{array}\right)$

$E_{BCE}:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)✓$

Gib die Koordinaten eines weiteren Punktes auf der Seitenfläche $𝐵𝐶𝐹𝐸$ an

Setze für $r$ und $s$ Werte ein, für die gilt: $0\le r,s\le 1$.

Z.B. mit $r=0$ und $s={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+0\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 8\\ 0\end{array}\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 2\end{array}\right)$.

Die Koordinaten eines weiteren Punktes auf der Seitenfläche $𝐵𝐶𝐹𝐸$ sind z.B. $(2|0|2)$.

Gib diese Achse an und begründe Deine Angabe anhand der Gleichung dieser Ebene

Ein Richtungsvektor der Ebene $H$ ist der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$. Dieser Vektor verläuft parallel zur $x_3$-Achse. Die gesuchte Achse ist also die $x_3$-Achse.

Zeige rechnerisch, dass für 𝑡 = 4 die Strecke $\overline{M{F}_t}$ senkrecht auf der Geraden $𝑔$ steht

Es sind $M(0|0|4)$ und ${𝐹}_4(0|4|12-4)\Rightarrow {𝐹}_4(0|4|8)$ und $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 12\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{M{F}_4}=\overrightarrow{O{F}_4}-\overrightarrow{OM}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 8\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 4\end{array}\right)$

$\overrightarrow{M{F}_4}\circ {\overrightarrow{u}}_g=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 4\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)=0+4-4=0\Rightarrow \overrightarrow{M{F}_4}⟂g$

Begründe ohne Rechnung, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $𝐸{𝐹}_{𝑡}𝐷$ für $𝑡=4$ am kleinsten ist

Für jedes $t$ ist $\overline{DE}$ die Basis und $\overline{M{F}_t}$ ist die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks $E{F}_{t}D$. Für $t=4$ ist $\overrightarrow{M{F}_4}⟂g$ (wie in Aufgabe d) gezeigt wurde).

Das Dreieck $E{F}_{t}D$ besitzt für diesen $t$-Wert die kleinste Höhe (senkrechter Abstand) und damit auch den kleinsten Flächeninhalt.

Ergänze die Skalierung des Koordinatensystems in Abbildung 2

Der Punkt $D$ hat die Koordinaten $𝐷(5|0|0)$ und $A$ hat für $a=-1$ die Koordinaten $A(4|1|-1)$. Das hilft, die Achsen zu skalieren.

Zeige, dass die Figur $𝐴𝐵𝐶𝐷$ ein symmetrisches Trapez ist

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ a\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-10\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Vergleiche diese beiden Vektoren:

$\overrightarrow{AB}={\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot \overrightarrow{DC}$

Zwei Seiten der Figur sind parallel zueinander und nicht gleich lang.

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -a\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -a\end{array}\right)$

$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-a{)}^2}=\sqrt{2+a^2}$und $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+(-a{)}^2}=\sqrt{2+a^2}$

Also gilt: $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|\Rightarrow$symmetrisches Trapez.

Bestimme, welche Länge die Leine bei Befestigung in den Punkten $𝐴$ und $𝐷$ mindestens haben muss

Nach Aufgabe b) gilt: $|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-a{)}^2}=\sqrt{1+1+a^2}=\sqrt{2+a^2}$

Gegeben: $𝑎=-4$ gilt bei Niedrigwasser$\Rightarrow |\overrightarrow{AD}|=\sqrt{2+(-4{)}^2}=\sqrt{18}\approx \mathrm{4,24}$