Zeige für alle $k>0$, dass die Graphen von $f_k$ und $g_k$ exakt zwei Schnittstellen bei $x=0$ und $x=2k$ haben

Löse die Gleichung $f_k=g_k$:

Mit dem Satz vom Nullprodukt erhältst Du die beiden Lösungen $x=0\vee x=2k$.

Die Graphen von $f_k$ und $g_k$ haben exakt zwei Schnittstellen bei $x=0$ und $x=2k$.

Berechne den Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von den Graphen von $f_1$ und $g_1$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird

Die Graphen von $f_k$ und $g_k$ haben exakt zwei Schnittstellen bei $x=0$ und $x=2k$.

Für $k=1$ haben $f_1$ und $g_1$ demnach Schnittstellen bei $x=0$ und $x=2$.

Gesucht ist also folgende Fläche:

$A=A_1+A_2$ mit $A_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1\cdot 1={\displaystyle \frac{1}{2}}$ und $$A_2={\displaystyle {\int }_1^2(g_1(x)-f_1(x))\mathrm{d}x}$$.

$$A_2={\displaystyle {\int }_1^2(g_1(x)-f_1(x))\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_1^2(x-x(x-1))\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_1^2(-x^2+2x)\mathrm{d}x}}}$$

$$A_2={\displaystyle {\int }_1^2(-x^2+2x)\mathrm{d}x={[-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+x^2]}_1^2=(-{\displaystyle \frac{8}{3}}+4)-(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 1^3+1^2)={\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}}$$

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{7}{6}}$

Der Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von den Graphen von $f_1$ und $g_1$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird, beträgt ${\displaystyle \frac{7}{6}}\mathrm{FE}$.

Alternativ kann die Flächenberechnung auch als Differenz der großen Dreiecksfläche und der von $f_1$ und der $x$-Achse eingeschlossenen Fläche von $x=1$ bis $x=2$ erfolgen.

$A=A_1-A_2$ mit $A_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\cdot 2=2$ und $$A_2={\displaystyle {\int }_1^2{f}_1(x)\mathrm{d}x}$$.

$$A_2={\displaystyle {\int }_1^2(x^2-x)\mathrm{d}x={[{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2]}_1^2=({\displaystyle \frac{8}{3}}-2)-({\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 1^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1^2)={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}}$$

$A=2-{\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{7}{6}}$

Der Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von den Graphen von $f_1$ und $g_1$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird, beträgt ${\displaystyle \frac{7}{6}}\mathrm{FE}$.