Teil A: Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Pflichtaufgabe 1

Für $k \in ℝ, k > 0$ , sind die in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{k}$ und $g_{k}$ gegeben durch: $f_{k} (x) = x \cdot (x - k)$ und $g_{k} (x) = k \cdot x$ .

Zeigen Sie für alle $k > 0$ , dass die Graphen von $f_{k}$ und $g_{k}$ exakt zwei Schnittstellen bei $x = 0$ und $x = 2 k$ haben. [ 2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Zeige für alle $k > 0$ , dass die Graphen von $f_{k}$ und $g_{k}$ exakt zwei Schnittstellen bei $x = 0$ und $x = 2 k$ haben
Löse die Gleichung $f_{k} = g_{k}$ :
$x \cdot (x - k)$ $=$ $k \cdot x$
↓
Löse die Klammer auf.
$x^{2} - k \cdot x$ $=$ $k \cdot x$ $- k \cdot x$
$x^{2} - 2 k \cdot x$ $=$ $0$
↓
Klammere $x$ aus.
$x (x - 2 k)$ $=$ $0$
Mit dem Satz vom Nullprodukt erhältst Du die beiden Lösungen $x = 0 \lor x = 2 k$ .
Die Graphen von $f_{k}$ und $g_{k}$ haben exakt zwei Schnittstellen bei $x = 0$ und $x = 2 k$ .
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Löse die Gleichung $f_{k} = g_{k}$ .
Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_{1}$ und $g_{1}$ . Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von den Graphen von $f_{1}$ und $g_{1}$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird. [ 3 BE]
Abbildung 1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne den Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von den Graphen von $f_{1}$ und $g_{1}$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird
Die Graphen von $f_{k}$ und $g_{k}$ haben exakt zwei Schnittstellen bei $x = 0$ und $x = 2 k$ .
Für $k = 1$ haben $f_{1}$ und $g_{1}$ demnach Schnittstellen bei $x = 0$ und $x = 2$ .
Gesucht ist also folgende Fläche:
$A = A_{1} + A_{2}$ mit $A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ und $A_{2} = \int_{1}^{2} (g_{1} (x) - f_{1} (x)) d x$ .
$A_{2} = \int_{1}^{2} (g_{1} (x) - f_{1} (x)) d x = \int_{1}^{2} (x - x (x - 1)) d x = \int_{1}^{2} (- x^{2} + 2 x) d x$
$A_{2} = \int_{1}^{2} (- x^{2} + 2 x) d x = {[- \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}]}_{1}^{2} = (- \frac{8}{3} + 4) - (- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 1^{2}) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$
$A = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6}$
Der Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von den Graphen von $f_{1}$ und $g_{1}$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird, beträgt $\frac{7}{6} FE$ .
Alternativ kann die Flächenberechnung auch als Differenz der großen Dreiecksfläche und der von $f_{1}$ und der $x$ -Achse eingeschlossenen Fläche von $x = 1$ bis $x = 2$ erfolgen.
$A = A_{1} - A_{2}$ mit $A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ und $A_{2} = \int_{1}^{2} f_{1} (x) d x$ .
$A_{2} = \int_{1}^{2} (x^{2} - x) d x = {[\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{2} = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
$A = 2 - \frac{5}{6} = \frac{7}{6}$
Der Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von den Graphen von $f_{1}$ und $g_{1}$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird, beträgt $\frac{7}{6} FE$ .
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$x \cdot (x - k)$	$=$	$k \cdot x$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x^{2} - k \cdot x$	$=$	$k \cdot x$	$- k \cdot x$
$x^{2} - 2 k \cdot x$	$=$	$0$
	↓	Klammere $x$ aus.
$x (x - 2 k)$	$=$	$0$

Pflichtaufgabe 1

Zeige für alle k>0, dass die Graphen von fk und gk exakt zwei Schnittstellen bei x=0 und x=2k haben

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Berechne den Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von den Graphen von f1 und g1 und der x-Achse eingeschlossen wird

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Zeige für alle $k > 0$ , dass die Graphen von $f_{k}$ und $g_{k}$ exakt zwei Schnittstellen bei $x = 0$ und $x = 2 k$ haben

Berechne den Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von den Graphen von $f_{1}$ und $g_{1}$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird