Teil B-Aufgabengruppe II - lernen mit Serlo!

Die Gerade $g_{1}$ verläuft durch die Punkte $P (0 | - 2)$ und $Q (7 | 1,5)$ .
Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von $g_{1}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Rechnerisches Bestimmen der Funktionsgleichung von $𝐠_{𝟏}$ .
Die allgemeine Geradengleichung lautet:
$y = m \cdot x + t$
$(P) - 2 = 0 + t \Rightarrow t = - 2$ einsetzen von $t=-2$ in $(Q)$
$(Q) 1,5 = 7 m - 2$
$7 m = 3,5 \Rightarrow m = \frac{3,5}{7}$
$m = 0,5$
Funktionsgleichung von $g_{1}$ lautet dann:
$y = 0,5 x - 2$
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Setze die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
Berechne die Steigung $m$ und den $y$ -Achsenabschnitt t.
Gegeben ist die Gerade $g_{2}$ mit der Funktionsgleichung $y = \frac{1}{4} x - 5,5$ .
Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Punkt $R (- 2 | - 5,5)$ auf $g_{2}$ liegt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Überprüfen, ob der Punkt $𝐑$ auf der Geraden $𝐠_{𝟐}$ liegt.
$- 5,5 \overset{?}{=} \frac{1}{4} \cdot (- 2) - 5,5$
$- 5,5 \neq - 6$
Der Punkt $R$ liegt nicht auf der Geraden $g_{2}$ .
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Setze $x = - 2$ in die Funktionsgleichung ein.
Vergleiche das Ergebnis mit der $y$ -Koordinate des Punktes.
Die Geraden $g_{3} : y = - 4 x + 3$ und $g_{2}$ schneiden sich in einem rechten Winkel.
Begründen Sie diese Aussage nachvollziehbar.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Begründen der Aussage.
Stehen Geraden senkrecht aufeinander dann gilt:
$m_{2} \cdot m_{3} = - 1$
Bekannte Größen:
$m_{2} = \frac{1}{4}; m_{3} = - 4$
$\frac{1}{4} \cdot (- 4) = - 1$

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Zeigen Sie rechnerisch, dass $S (2 | - 5)$ der Schnittpunkt der Geraden $g_{2}$ und $g_{3}$ ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts $𝐒$ der Geraden $𝐠_{𝟐}$ und $𝐠_{𝟑}$ .
$g_{2} : y = \frac{1}{4} x - 5,5$
$g_{3} : y = - 4 x + 3$
Gleichsetzen der Geradengleichungen
↓
$\frac{1}{4} x - 5,5$ $=$ $= - 4 x + 3$ $\cdot 4$
↓
multiplizieren
$x - 22$ $=$ $- 16 x + 12$ $+ 16 x$
↓
addieren
$17 x - 22$ $=$ $12$ $+ 22$
↓
addieren
$17 x$ $=$ $34$ $: 17$
↓
dividieren
$𝐱$ $=$ $𝟐$
Einsetzen des $x$ -Wertes in z. B. $g_{2}$ (du kannst den x-Wert auch in $g_{3}$ einsetzen} und berechnen von y.
$y = \frac{1}{4} \cdot 2 - 5,5$
$y = 0,5 - 5,5$
$𝐲 = -𝟓$
Somit ist der Schnittpunkt der Geraden $g_{2}$ und $g_{3}$ : $S (2 | - 5)$
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Setze $g_{2} = g_{3}$
Berechne $x$
Setze $x$ in die Geradengleichung von $g_{2}$ oder $g_{3}$ ein und berechne $y$ .
Die Gerade $g_{4}$ hat die Funktionsgleichung
$y - 1 = \frac{1}{3} x$
und schneidet die $x$ -Achse im Punkt $N$ .
Berechnen Sie die $x$ -Koordinate von $N$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Berechnen der $𝐱$ -Koordinate des Schnittpunktes $𝐍$ .
Berechnen von x
↓
$\frac{1}{3} x + 1$ $=$ $0$ $\cdot 3$
↓
multipliziere
$x + 3$ $=$ $0$ $- 3$
↓
subtrahiere
$x$ $=$ $- 3$
Die $x$ -Koordinate des Schnittpunktes $N$ von $g_{4}$ mit der x-Achse ist:
$x = - 3$
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Setze die Funktionsgleichung gleich $0$ .
Löse nach $x$ auf.
Die Gerade $g_{5}$ hat keinen Punkt mit der Geraden $g_{3}$ gemeinsam. Geben Sie die Funktionsgleichung einer möglichen Geraden $g_{5}$ in der Normalform an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Mögliche Funktionsgleichung einer Geraden $𝐠_{𝟓}$ .
Die allgemeine Form einer Geradengleichung lautet:
$y = m x + t$
Die Gerade $g_{3}$ hat keinen Punkt gemeinsam mit der Geraden $g_{5}$ , wenn gilt:
$m_{3} = m_{5}$ und $t_{3} \neq t_{5}$
Eine solche Funktionsgleichung der Geraden $g_{5}$ ist z. B.:
$y = - 4 x + 4$
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Zeichnen Sie die Geraden $g_{1}$ und $g_{3}$ in ein Koordinatensystem mit der
Längeneinheit $1 cm$ .
(7 Pkt.)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das zweidimensionale kartesische Koordinatensystem
Zeichnen der Geraden $𝐠_{𝟏}$ und $𝐠_{𝟑}$ in ein Koordinatensystem.
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Gleichsetzen der Geradengleichungen
	↓
$\frac{1}{4} x - 5,5$	$=$	$= - 4 x + 3$	$\cdot 4$
	↓	multiplizieren
$x - 22$	$=$	$- 16 x + 12$	$+ 16 x$
	↓	addieren
$17 x - 22$	$=$	$12$	$+ 22$
	↓	addieren
$17 x$	$=$	$34$	$: 17$
	↓	dividieren
$𝐱$	$=$	$𝟐$

Berechnen von x
	↓
$\frac{1}{3} x + 1$	$=$	$0$	$\cdot 3$
	↓	multipliziere
$x + 3$	$=$	$0$	$- 3$
	↓	subtrahiere
$x$	$=$	$- 3$

Rechnerisches Bestimmen der Funktionsgleichung von 𝐠𝟏.

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Überprüfen, ob der Punkt 𝐑 auf der Geraden 𝐠𝟐 liegt.

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Begründen der Aussage.

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Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts 𝐒 der Geraden 𝐠𝟐 und 𝐠𝟑.

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Berechnen der 𝐱-Koordinate des Schnittpunktes 𝐍.

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Mögliche Funktionsgleichung einer Geraden 𝐠𝟓.

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Zeichnen der Geraden 𝐠𝟏und 𝐠𝟑 in ein Koordinatensystem.

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Rechnerisches Bestimmen der Funktionsgleichung von $𝐠_{𝟏}$ .

Überprüfen, ob der Punkt $𝐑$ auf der Geraden $𝐠_{𝟐}$ liegt.

Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts $𝐒$ der Geraden $𝐠_{𝟐}$ und $𝐠_{𝟑}$ .

Berechnen der $𝐱$ -Koordinate des Schnittpunktes $𝐍$ .

Mögliche Funktionsgleichung einer Geraden $𝐠_{𝟓}$ .

Zeichnen der Geraden $𝐠_{𝟏}$ und $𝐠_{𝟑}$ in ein Koordinatensystem.