Zinseszins – Anwendungen und Vertiefung der Prozentrechnung

Zinsen beziehen sich zwar meist auf ein Jahr, aber was passiert mit Geld, das mehrere Jahre verzinst wird? Sind die Zinserträge jedes Jahr gleich groß, wächst oder schrumpft der Zinsbetrag, den du jedes Jahr bekommst?

Betrachte dazu ein Beispiel

Überlege dir anhand von $100\;€$ Startkapital mit $10\;\%$ Zinsen pro Jahr, wie viel Geld du nach zwei Jahren besitzt.

Drei Lösungswege:

Variante 1	Variante 2	Variante 3
Du erhältst $10\;\%$ Zinsen auf dein Kapital von $100\;€$ . $Z=\;p\cdot K$ $Z=10\;\% \cdot 100\,€$ $Z=10\,€$	Dein Kapital von $100\;€$ ist der Grundwert und entspricht somit $100\;\%$ .	Nach einem Jahr hast du dein Kapital von $100\;€$ und zusätzlich $10\;\%$ deines Kapitals. Da dein Kapital der Grundwert ist, entspricht es $100\;\%$ . Nach einem Jahr hast du folglich $110\;\%$ deines Ausgangskapitals. Der Wachstumsfaktor beträgt also $10\;\%$ . $K^+=K \cdot (1+p)$ $K^+ = K \cdot (1+10\;\%)\\$ $K^+=100\,€ \cdot 110\;\%\\$ $K^+= 110\,€$

Nach einem Jahr erhältst du somit $10\;€$ Zinsen. Dein neues Kapital beträgt $110\;€$ .	Nach einem Jahr erhältst du somit $10\;€$ Zinsen. Dein neues Kapital beträgt $110\;€$ .	Nach einem Jahr hast du also $110\;€$ . Deine Zinsen betragen $110\,€ - 100\,€ = 10\,€$

Im zweiten Jahr bekommst du wieder $10\;\%$ Zinsen auf dein Kapital. Dein Kapital beträgt aber inzwischen $110$ €. Du hast also einen neuen Grundwert.

Variante 1	Variante 2	Variante 3
$p\cdot K=Z$ $10\;\% \cdot 110\,€ = 11\,€$		$p\cdot K=Z$ $110\;\% \cdot 110\,€ = 121\,€$
Für das zweite Jahr erhältst du $11$ € Zinsen. Gesamt bekommst du somit $10 \,€ + 11\, € = 21\, €$ Zinsen.	Für das zweite Jahr erhältst du $11$ € Zinsen. Gesamt bekommst du somit $10 \,€ + 11 \,€ = 21\, €$ Zinsen.	Nach zwei Jahren hast du $121$ €. Gesamt bekommst du somit $121\, € - 100\, € = 21\, €$ Zinsen.

Fazit:

Würdest du nach zwei Jahren doppelt so viele Zinsen haben wie nach einem Jahr, hättest du $2\cdot 10\,€ = 20\,€$ . In Wirklichkeit erhältst du aber $21\;€$ . Das liegt daran, dass du auf deine Zinsen auch Zinsen bekommst. Diese nennt man Zinseszinsen.

Gerade und proprtionale Funktion zur Darstellung der Geldentwicklung ohne und mit Zinseszins — Die Gerade stellt die Geldentwicklung ohne Zinseszins dar. Mit Zinseszins steigen die Zinsen nicht mehr direkt proportional zu der Anzahl an Jahren.

Tipp zur Berechnung des Kapitals nach mehreren Jahren

Der schnellste Weg, das neue Kapital nach einem, zwei oder drei Jahren zu berechnen ist der einschrittige Weg aus der dritten Variante.

$100\;€\xrightarrow{\cdot 110\;\%}110\;€\xrightarrow{\cdot 110\;\%}121\;€$

Dieses Verfahren kann auch leicht auf drei und vier Jahre erweitert werden.

$100\;€\xrightarrow{\cdot 110\;\%}110\;€\xrightarrow{\cdot 110\;\%}121\;€\xrightarrow{\cdot 110\%}133{,}1 €\xrightarrow{\cdot 110\%}146{,}41 €$

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