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Vertiefung zum Kreissektor

Ein Kreissektor ist eine Teilfläche des Kreises, die von einem Kreisbogen und zwei daran angrenzenden Strecken zum Mittelpunkt gebildet wird.

Anschaulich sieht ein Kreissektor aus wie ein Käsestück von oben betrachtet.

Abb. 1 Käsestücke

Flächenberechnung

Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, die Fläche eines Kreissektors zu berechnen:

  • Mit Radius und Mittelpunktswinkel

  • Mit Radius und Länge des Kreisbogens

Bild

Berechnung mit Radius und Mittelpunktswinkel

Die Fläche des Kreissektors ist ein Teil der Kreisfläche. Das Verhältnis zwischen den Flächeninhalten des Kreises und des Kreissektors entspricht dem Verhältnis zwischen Mittelpunktswinkel α\alpha und dem Gesamtwinkel mit 360°360°.

Beschreibung

Berechnung

Man stellt die Formel nach ASektorA_{\text{Sektor}} um.

α360°=ASektorAKreis\frac{\alpha}{360°}=\frac{A_{\text{Sektor}}}{A_{\text{Kreis}}}

Die Fläche eines Kreises ist AKreis=πr2A_{\text{Kreis}}=\pi r^2.

ASektor=α360°AKreisA_{\text{Sektor}}=\dfrac{\alpha}{360°}\cdot A_{\text{Kreis}}

ASektor=α360°πr2A_{\text{Sektor}}=\dfrac{\alpha}{360°}\cdot \pi r^2

Beispiel

Es soll nun der Flächeninhalt des folgenden Kreissektors (rot) bestimmt werden:

Beispiel 1

Beschreibung

Berechnung

Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.

A=r2πα360A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}

A=r2πα360h=32π45360A=  9π18A3,53A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ} \\ \phantom{h}=3^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{45^\circ}{360^\circ}\\ \phantom{A} =\;9\cdot\mathrm\pi\cdot\frac18\\ \phantom{A}\approx 3{,}53

Berechnung mit Radius und Länge des Kreisbogens

Das Verhältnis zwischen dem Umfang UU des Kreises und der Länge bb des Kreisbogens entspricht dem Verhältnis zwischen den Flächeninhalten des Kreises und des Sektors.

Beschreibung

Berechnung

Man stellt die Gleichung nach ASektorA_{\text{Sektor}} um.

bU=ASektorAKreis\dfrac{b}{U}=\dfrac{A_{\text{Sektor}}}{A_{\text{Kreis}}}

Man setzt die Formeln für den Umfang und die Fläche des Kreises ein.

ASektor=bUAKreisA_{\text{Sektor}}=\dfrac{b}{U}\cdot A_{\text{Kreis}}

Im Bruch lässt sich π\pi und rr kürzen.

ASektor=b2πrπr2A_{\text{Sektor}}=\dfrac{b}{2\pi r}\cdot \pi r^2

ASektor=br2A_{\text{Sektor}}=\dfrac{b \cdot r}{2}

Beispiel

Es soll nun der Flächeninhalt des folgenden Kreissektors (rot) bestimmt werden:

Bild

Beschreibung

Berechnung

Setze die Bogenlänge und den Radius in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.

ASektor=br2\displaystyle A_\text{Sektor}=\frac{b\cdot r}2

ASektor=br2=2562=  75\displaystyle A_\text{Sektor}=\frac{b\cdot r}2=\:\frac{25\cdot6}2=\;75

Übungsaufgaben: Vertiefung zum Kreissektor

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Kreise und Kreisteilen

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