Aufgaben zu Nullstellen und Achsenschnittpunkten

Wie gut kennst du dich aus? Hier findest du Aufgaben rund um das Thema Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

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Bestimme von folgenden Geraden die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
1. $y=-2x+3{,}5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&-2x+3{,}5&|+2x\\ 2x&=&3{,}5&|:2\\x&=&1{,}75\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(1{,}75|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=-2\cdot0+3{,}5$
  $y=3{,}5$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|3{,}5)$ .
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2. $y=5x-7$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&5x-7&|+7\\5x&=&7&|:5\\x&=&\frac 7 5 = 1{,}4 \end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(1{,}4|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=5\cdot0-7$
  $y=-7$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|-7)$ .
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3. $y=\frac32x+2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&\frac32x+2&|-2\\\frac 3 2x&=&-2&|\cdot \frac 2 3\\x&=&-\frac 43\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(-\frac{4}{3}|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=\frac32\cdot0+2$
  $y=2$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|2)$ .
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4. $y=-\frac25x+\frac52$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&-\frac25x+\frac52&|+\frac 25 x\\\frac25x&=&\frac 52&|\cdot \frac 52\\x&=&\frac{25}{4}=6{,}25\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(6{,}25|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=-\frac25\cdot0+\frac52$
  $y=\frac 5 2 = 2{,}5$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|2{,}5)$ .
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5. $y=2(x-\frac23)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Klammer auflösen
  Um eine allgemeine Geradengleichung $y=m \cdot x+t$ zu erhalten, multipliziere die Klammer aus.
  $y=2(x-\frac23)$
  $y=2x-\frac43$
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&2x-\frac43&|+\frac 43\\2x&=&\frac 43&|:2\\x&=&\frac 23\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x( \frac23|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein und löse nach $x$ auf.
  $y=2\cdot0-\frac43$
  $y=-\frac 4 3$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0| -\frac43)$ .
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6. $y=-\frac43-\frac12x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Gleichung umstellen
  Um eine allgemeine Geradengleichung $y=m\cdot x+t$ zu erhalten, vertausche auf der rechten Seite beide Elemente.
  $y=-\frac43-\frac12x$
  $\phantom{y}=-\frac12x-\frac43$
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&-\frac43-\frac12x&|+\frac 12 x\\\frac 12 x &=& -\frac 43 &|\cdot 2\\x&=&-\frac 83 = -2\frac 23\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x( -\frac83|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=-\frac12\cdot0-\frac43$
  $y=-\frac 4 3$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0| -\frac43)$ .
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2
Gib die Koordinaten aller Schnittpunkte mit den Achsen an ohne den Funktionsterm umzuformen.
1. $f\left(x\right)=x^2$
  Form: (zahl/zahl)
  
  Schnittpunkte mit den Achsen
  Die Nullstelle bzw. der Schnittpunkt mit der y-Achse ist der Ursprung, denn:
  $f\left(0\right)=0^2=0$
  und $0=x^2$ für $x=0$
  $S(0/0)$
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  Setze in die Funktion 0 ein, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten.
  Schreibe $0=x^2$ , um die Nullstellen zu bestimmen und löse durch überlegen
2. $f\left(x\right)=x-2$
  Gib die Koordinaten der Punkte einzeln in das Eingabefeld ein und überprüfe jedes Mal durch drücken des "Stimmt's?"-Buttons.
  Form: (zahl/zahl)
  
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Setze 0 in die Funktion ein, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten:
  $f\left(0\right)=0-2=-2$ , also $T\left(0/-2\right)$
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Es soll gelten:
  $x-2=0$ und das ist der Fall für $x=2$ , also ist die Nullstelle bei $N\left(2\ /0\right)$
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  Setze in die Funktion 0 ein, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten.
  Schreibe $0=x^2$ , um die Nullstellen zu bestimmen und löse durch überlegen
3. $f\left(x\right)=2\left(x-2\right)\left(x-1\right)$
  Gib die Koordinaten der drei Punkte einzeln in das Eingabefeld ein und überprüfe jedes Mal durch drücken des "Stimmt's?"-Buttons.
  Form: (zahl/zahl)
  
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Setze 0 in die Funktion ein, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten:
  $f\left(0\right)=2\left(0-2\right)\left(0-1\right)=2\cdot\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)=4$
  $T\left(0/4\right)$
  Schnittpunkte mit der x-Achse
  Ein Produkt ist immer dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Deshalb kann man den Term auseinander ziehen und jeden Faktor einzeln betrachten:
  $\left(x-2\right)=0$ für $x=2$ , also gibt es eine Nullstelle bei $N_1\left(2/0\right)$
  $\left(x-1\right)=0$ für $x=1$ , also gibt es eine Nullstelle bei $N_2\left(1/0\right)$
  Probe:
  $f\left(2\right)=2\cdot\left(2-2\right)\cdot\left(2-1\right)=2\cdot0\cdot1=0$
  $f\left(1\right)=2\cdot\left(1-2\right)\cdot\left(1-1\right)=2\cdot\left(-1\right)\cdot0=0$
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  Setze in die Funktion 0 ein, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten.
  Schreibe $0=x^2$ , um die Nullstellen zu bestimmen und löse durch überlegen
4. $f=0{,}5x\left(x+2\right)$
  Gib die Koordinaten der Punkte einzeln in das Eingabefeld ein und überprüfe jedes Mal durch drücken des "Stimmt's?"-Buttons.
  Form: (zahl/zahl)
  
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Setze 0 in die Funktion ein, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten:
  $f\left(0\right)=0{,}5\cdot0\cdot\left(0+2\right)=0$
  Damit hat man auch schon die erste Nullstelle gefunden: $(0/0)$
  Schnittpunkte mit der x-Achse
  Ein Produkt ist immer dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Deshalb kann man den Term auseinander ziehen und jeden Faktor einzeln betrachten:
  $x=0$ liefert die erste Nullstelle, die gleichzeitig auch der y-Achsenabschnitt ist
  $\left(x+2\right)=0$ für $x=-2$ , also ist die Nullstelle bei $\left(0/-2\right)$
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5. $f\left(x\right)=\left(x+2\right)^2$
  Gib die Koordinaten der Punkte einzeln in das Eingabefeld ein und überprüfe jedes Mal durch drücken des "Stimmt's?"-Buttons.
  Form: (zahl/zahl)
  
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Setze 0 in die Funktion ein, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten:
  $f\left(0\right)=\left(0+2\right)^2=2^2=4$
  Also $T\left(0/4\right)$
  Schnittpunkte mit der x-Achse
  Der Term lässt sich umschreiben zu: $f\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x+2\right)$
  Ein Produkt ist immer dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Deshalb kann man den Term auseinander ziehen und jeden Faktor einzeln betrachten, wobei hier die beiden Faktoren ja identisch sind:
  $x+2=0$ gilt für $x=-2$ und liefert die Nullstelle $N\left(-2/0\right)$
  Es gibt keine weiteren Nullstellen.
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6. $f\left(x\right)=x^2-36$
  Gib die Koordinaten der Punkte einzeln in das Eingabefeld ein und überprüfe jedes Mal durch drücken des "Stimmt's?"-Buttons.
  Form: (zahl/zahl)
  
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Setze 0 in die Funktion ein, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten:
  $f\left(0\right)=0^2-36=-36$ , also $T\left(0/-36\right)$
  Schnittpunkte mit der x-Achse
  Hier versteckt sich die 3. binomische Formel:
  $f\left(x\right)=x^2-36=\left(x+6\right)\left(x-6\right)$
  Erneut ist ein Produkt immer dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist:
  $\left(x+6\right)=0$ für $x=-6$ , also $N_1\left(-6\ /0\right)$
  $\left(x-6\right)=0$ für $x=6$ also $N_2\left(6\ /0\right)$
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Aufgaben zu Nullstellen und Achsenschnittpunkten

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Klammer auflösen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Gleichung umstellen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Schnittpunkte mit den Achsen

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Schnittpunkt mit der y-Achse

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