Um bei einer Funktion $f(x)$ eine Parallelverschiebung um den Vektor $\overset \rightharpoonup v$ durchzuführen, setzt du $y=f(x)=x^2$.

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x + v_x\\y' &=& y + v_y\end{array}$

Setze $y=x^2$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x + v_x\\y' &=& x^2 + v_y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Vektors $\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 2\\1\end{pmatrix}$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x + 2\\y' &=& x^2 + 1\end{array}$

Löse die obere Gleichung nach $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x &=& x'-2\\y' &=& x^2+1 \end{array}$

Ersetze $x = x' -2$ in der Gleichung für $y'$.

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

$\Rightarrow x' = x+2 \Leftrightarrow x = x' -2$ $\Rightarrow y' = x^2+1$

Ersetze $x= x'-2$ in der Gleichung für $y'$.

$\Rightarrow y' = (x'-2)^2 + 1$ $\Leftrightarrow y' = (x'^2 - 4\cdot x' + 4) + 1$ $\Leftrightarrow y' = x'^2 - 4\cdot x' + 5$

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Um bei einer Funtion $f(x)$ eine Parallelverschiebung um einen Vektor $\overset \rightharpoonup v$ zu durchzuführen, setzt du $y=f(x)=2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2$.

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x + v_x\\y' &=& y + v_y\end{array}$

Setze $y=2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll}x' &=& x + v_x\\y' &=& 2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2 + v_y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Vektors $\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} -2\\2\end{pmatrix}$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll}x' &=& x - 2\\y' &=& 2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2 + 2\end{array}$

Löse die obere Gleichung nach $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll}x &=& x'+2\\y' &=& 2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x\end{array}$

Setze die Gleichung für $x$ in die Gleichung für $y'$ ein und vereinfache.

$\Rightarrow y' = 2\cdot (x'+2)^3 + 4\cdot (x'+2)^2 + (x+2)\\ \Leftrightarrow y' = 2\cdot(x'^3 + 6\cdot x'^2 + 12\cdot x' + 8) + 4\cdot (x'^2 + 4\cdot x' + 4) + x' +2 \\ \Leftrightarrow y' = 2\cdot x'^3 + 12\cdot x'^2 + 24\cdot x' + 16 + 4\cdot x'^2 + 16\cdot x' + 16 + x' + 2 \\ \Leftrightarrow y' = 2\cdot x'^3 + 16\cdot x'^2 + 41\cdot x' + 34$

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

$\Rightarrow x'=x-2\Leftrightarrow x=x'+2$ $\Rightarrow y'= 2\cdot x^3 + 4\cdot x^2 + x -2 + 2$

Setze die Gleichung für $x$ in die Gleichung für $y'$ ein.

$\Rightarrow y' = 2\cdot (x'+2)^3 + 4\cdot(x'+2)^2 + (x'+2)$

$\Rightarrow y' = 2\cdot(x'^3 + 6\cdot x'^2 + 12\cdot x' + 8) + 4\cdot (x'^2 + 4\cdot x' + 4) + x' +2$

$\Rightarrow y' = 2\cdot x'^3 + 12\cdot x'^2 + 24\cdot x' + 16 + 4\cdot x'^2 + 16\cdot x' + 16 + x' + 2$

$\Rightarrow y' = 2\cdot x'^3 + 16\cdot x'^2 + 41\cdot x' + 34$

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Um bei einer Funktion $f(x)$ eine Parallelverschiebung um den Vektor $\overset\rightharpoonup v$ durchzuführen, setzt du $y=f(x)=\log(4\cdot x)$.

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x + v_x\\y' &=& y + v_y\end{array}$

Setze $y=\log(4\cdot x)$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll}x' &=& x + v_x\\y' &=& \log(4\cdot x) + v_y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Vektors $\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 1\\3\end{pmatrix}$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll}x' &=& x + 1\\y' &=& \log(4\cdot x) + 3\end{array}$

Löse die obere Gleichung nach $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll}x &=& x' - 1\\y' &=& \log(4\cdot x) + 3\end{array}$

Ersetze $x = x' -1$ in der Gleichung für $y'$.

$\Rightarrow y' = \log(4\cdot (x'-1)) + 3$ $\Leftrightarrow y' = \log(x'-1) + \log(4) + 3$

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

$\Rightarrow x'=x+1 \Leftrightarrow x=x'-1$ $\Rightarrow y'=\log(4\cdot x) + 3$

Ersetze $x= x'-1$ in der Gleichung für $y'$.

$\Rightarrow y' = \log(4\cdot (x'-1)) + 3$ $\Leftrightarrow y' = \log(x'-1) + \log(4) + 3$

Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Um bei einer Funktion $f(x)$ eine Parallelverschiebung um den Vektor $\overset \rightharpoonup v$ durchzuführen, setzt du $y=f(x)=2^{3\cdot x}$.

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x + v_x\\y' &=& y + v_y\end{array}$

Setze $y=2^{3\cdot x}$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x + v_x\\y' &=& 2^{3\cdot x} + v_y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Vektors $\overset\rightharpoonup v = \begin{pmatrix} 2\\-4\end{pmatrix}$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x + 2\\y' &=& 2^{3\cdot x} - 4\end{array}$

Löse die obere Gleichung nach $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x &=& x' - 2\\y' &=& 2^{3\cdot x} - 4\end{array}$

Ersetze $x = x' -2$ in der Gleichung für $y'$.

$\Rightarrow y' = 2^{3\cdot (x' -2)}-4$ $\Leftrightarrow y' = 8^{x' - 2}-4$ Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

$\Rightarrow x' = x+2 \Leftrightarrow x = x' -2$ $\Rightarrow y' = 2^{3\cdot x} -4$

Ersetze $x= x'-2$ in der Gleichung für $y'$.

$\Rightarrow y' = 2^{3\cdot (x' -2)}-4$ $\Leftrightarrow y' = 8^{x' - 2}-4$ Dies ist die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion.