Aufgaben zur skalaren Multiplikation und zu Vektorketten

Gegeben seien die Punkte $A (- 4 ∣ 0)$ , $B (2 ∣ - 1)$ und $C (5 ∣ 2)$ . Vervollständige zu einem Parallelogramm ABCD und berechne neben den Koordinaten von D auch die Lage des Schnittpunktes M seiner Diagonalen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette

Zeichnerische Bestimmung von D

Trage A, B und C ein. Übertrage den Vektor $\overrightarrow{BC}$ an A.

D liegt also bei $D (- 1 ∣ 3)$

Da es sich nicht immer um so schöne Zahlwerte handelt, ist es gut, auch die rechnerische Bestimmung zu können.

Rechnerische Bestimmung

Bestimme zuerst $\vec a = \overrightarrow{AB}$ oder $\vec b = \overrightarrow{BC}$ .

$\vec a = \begin{pmatrix}2- & (-4)\\-1 & -0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\ -1 \end{pmatrix}$

$\vec b = \begin{pmatrix} 5 & -2\\2- & (-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}$

Da $A B C D$ ein Parallelogramm ist, gilt außerdem $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ .

Die Koordinaten von D berechnest du, indem du eine Vektorkette bildest. Beginne diese mit dem Ortsvektor $\vec A$ von A.

$\vec D=\vec A + \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} -4\\0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\3\end{pmatrix}$

Somit ist $D (- 1 ∣ 3)$ .

Lage des Diagonalenschnittpuntkts

In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. Du suchst also den Mittelpunkt M der Strecke $\overline{AC}$ oder $\overline{BD}$ .

Bilde wieder eine Vektorkette:

$\vec M= \vec A+\frac 1 2\cdot\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} -4\\0\end{pmatrix}+\frac 1 2 \cdot \begin{pmatrix} 5-(-4)\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4\\0\end{pmatrix}+\frac 1 2 \cdot \begin{pmatrix} 9\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}5\\1\end{pmatrix}$

Die Diagonalen schneiden sich also in $M (0,5 ∣ 1)$

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