Aufgaben zur orthogonalen Affinität

Alternative 1: Lösung mit Koordinatenform:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=& x\\y' &=& k\cdot y\end{array}$

Setze den Affinitätsfaktor $k$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=& x\\y' &=& \frac{1}{2}\cdot y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(0|1)$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=& 0\\y' &=& \frac{1}{2}\cdot 1\end{array}$

Rechne die Koordinaten des Punktes $P'(x'|y')$ aus.

$\Rightarrow x'=0 \wedge y'=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow P'(x'|y') = P'(0|\frac{1}{2})$

Alternative 2: Lösung mit Matrixform:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & k\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Setze den Affinitätsfaktor $k$ in die Matrix ein.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(0|1)$ in den Vektor ein.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.

$\Rightarrow \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

$\Rightarrow P'(0|\frac{1}{2})$

Alternative 1: Lösung mit Koordinatenform

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=& x\\y' &=& k\cdot y\end{array}$

Setze den Affinitätsfaktor $k$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=& x\\y' &=& -2\cdot y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(\frac{3}{2}|4)$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=& \frac{3}{2}\\y' &=& -2\cdot 4\end{array}$

Rechne die Koordinaten des Punktes $P'(x'|y')$ aus.

$\Rightarrow x'=\frac{3}{2} \wedge y'=-8$

$\Rightarrow P'(x'|y') = P'(\frac{3}{2}|-8)$

Alternative 2: Lösung mit Matrixform

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & k\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Setze den Affinitätsfaktor $k$ in die Matrix ein.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P'(\frac{3}{2}|4)$ in den Vektor ein.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\4\end{pmatrix}$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.

$\Rightarrow \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\-8\end{pmatrix}$

$\Rightarrow P'(\frac{3}{2}|-8)$

Alternative 1: Lösung mit Kordinatenform

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x\\y' &=& k\cdot y\end{array}$

Setze den Affinitätsfaktor $k$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& x\\y' &=& -\frac{2}{5}\cdot y\end{array}$

Setze die Koordinaten des Punktes $P(3|-\frac{1}{3})$ in das Gleichungssystem ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x' &=& 3\\y' &=& -\frac{2}{5}\cdot -\frac{1}{3}\end{array}$

Rechne die Koordinaten des Punktes $P'(x'|y')$ aus.

$\Rightarrow x'=3 \wedge y'= \frac{2}{15}$

$\Rightarrow P'(x'|y') = P'(3|\frac{2}{15})$

Alternative 2: Lösung mit Matrixform

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & k\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Setze den Affinitätsfaktor $k$ in die Matrix ein.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -\frac{2}{5}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Setze die Koordinaten des Punkktes $P(3|-\frac{1}{3})$ in den Vektor ein.

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -\frac{2}{5}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\\frac{1}{3}\end{pmatrix}$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.

$\Rightarrow\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$

$\Rightarrow P'(3|\frac{2}{15})$