Aufgaben zur Drehung - lernen mit Serlo!

Die Gerade $g$ wird durch Drehung um den Ursprung mit dem Winkelmaß $\alpha$ auf die Gerade $g^{'}$ abgebildet. Berechne die Geradengleichung von $g^{'}$ .

$g : y = 2 x + 4$ mit $\alpha = 50°$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade
Skizze:
Die Gerade $g$ mit $y = 2 x + 4$ soll mit dem Winkel $\alpha=50°$ um den Ursprung gedreht werden.
Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von $g^{'}$ .
Man wählt einen allgemeinen Punkt $P_{n} (x ∣ 2 x + 4)$ auf der Geraden und dreht diesen um $50 °$ um den Ursprung:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}= \left(\begin{array}{}\cos 50°\ \ -\sin 50°\\\sin 50° \ \ \ \ \ \ \cos 50°\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{}x \\ 2x+4\end{array}\right)=$
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{}0{,}6\ \ -0{,}8\\0{,}8 \ \ \ \ \ \ 0{,}6\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{}x \\ 2x+4\end{array}\right)=$
$\begin{pmatrix}0{,}6x-0{,}8(2x+4)\\0{,}8x+0{,}6(2x+4)\end{pmatrix}=$
$\begin{pmatrix}-x-3{,}2\\2x + 2{,}4\end{pmatrix}$
$\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow \begin{array}{rrcc}x'&= -x & -3{,}2 &(1)\\y'&= 2x & +2{,}4 &(2)\end{array}$
$\Rightarrow P_n'(-x-3{,}2|2x+2{,}4)$
Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden:
Dazu löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.
$x = - x^{'} - 3,2$
Setze (1') in (2) ein:
$y'= 2 \cdot (-x'-3{,}2) +2{,}4 = -2x' -6{,}4 +2{,}4= -2x' -4$
Die gedrehte Gerade hat demnach folgende Gleichung $y^{'} = - 2 x^{'} - 4$
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$g : y = x - 3$ mit $\alpha=-30°$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade
$g : y = x - 3$ , $\alpha=-30°$
Wähle einen beliebigen Punkt auf der Gerade.
$P_{n} (x ∣ x - 3)$
Nun spiegelst du diesen Punkt $P_{n}$ an der Geraden $g$ auf den Bildpunkt $P_{n}^{'}$ .
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
Setze den allgemeinen Punkt $P_{n}$ und den Winkel $\alpha$ in die Gleichung ein.
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (-30°) & -\sin(-30°)\\\sin (-30°) & \cos(-30°)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\x-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3}{2}&\frac12 \\-\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\x-3\end{pmatrix}$
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3}{2}\cdot x +\frac12\cdot (x-3)\\-\frac12\cdot x +\frac{\sqrt3}{2}\cdot (x-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot x-\frac{3}{2}\\\frac{-1+\sqrt3}{2}\cdot x-\frac{3\sqrt3}{2}\end{pmatrix}$
$\Rightarrow P'_n\left(\left.\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot x-\frac{3}{2}\right|\frac{-1+\sqrt3}{2}\cdot x-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$
$P_{n}^{'}$ ist ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden.
Bestimme nun den Trägergraph $g^{'}$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}x'&=&\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot x&-&\frac{3}{2}\\y'&=&\frac{-1+\sqrt3}{2}\cdot x&-&\frac{3\sqrt3}{2}\end{array}$
Löse die erste Gleichung nach $x^{'}$ auf und setze diese in die zweite Gleichung ein.
$x=\frac{2\cdot x'}{1+\sqrt3}-\frac{3}{1+\sqrt3}$
$y'=\frac{-1+\sqrt3}{2}\cdot \left(\frac{2\cdot x'}{1+\sqrt3}-\frac{3}{1+\sqrt3}\right)-\frac32=\frac{\sqrt3-1}{2}\cdot x'-\frac{9+3\sqrt3}{4}$
Die gespiegelte Gerade $g':y'=\frac{\sqrt3-1}{2}\cdot x'-\frac{9+3\sqrt3}{4}$
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$g : y = - 0,5 x - 1$ mit $\alpha=120°$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung einer Gerade
Die Gerade $g$ mit $y = - 0,5 x - 1$ soll mit dem Winkel $\alpha=120°$ um den Ursprung gedreht werden.
Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von $g^{'}$ .
Man wählt einen allgemeinen Punkt $P_n(x|-0{,}5x-1)$ auf der Geraden und dreht diesen um $120 °$ um den Ursprung:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}= \left(\begin{array}{}\cos 120°\ \ -\sin 120°\\\sin 120° \ \ \ \ \ \ \cos 120°\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{}x \\ -0{,}5x-1\end{array}\right)=$
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{}-\frac{1}{2}\ \ -\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3}{2} \ \ \ \ -\frac{1}{2} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{}x \\ -0{,}5x-1\end{array}\right)=$
$\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt3}{4}x+\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3}{2}x+\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\end{pmatrix}=$
$\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3-2}{4}x+\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3+2}{4}x+\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
$\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow \begin{array}{rrcc}x'&= \frac{\sqrt3-2}{4}x & +\frac{\sqrt3}{2} &(1)\\y'&= \frac{\sqrt3+2}{4}x & +\frac{1}{2} &(2)\end{array}$
$\Rightarrow P_n'(\frac{\sqrt3-2}{4}x+\frac{\sqrt3}{2}|\frac{\sqrt3+2}{4}x+\frac{1}{2})$
Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden:
Dazu löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.
$x=\frac{4(x'-\frac{\sqrt3}{2})}{\sqrt3-2}$
Setze (1') in (2) ein:
$y'= \frac{\sqrt3+2}{4} \cdot \frac{4(x'-\frac{\sqrt3}{2})}{\sqrt3-2} +\frac{1}{2} = (7+4\sqrt3)x' -12-\frac{13}{2}\sqrt3$
Die gedrehte Gerade hat demnach folgende Gleichung $y'=(7+4\sqrt3)x' -12-\frac{13}{2}\sqrt3$
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