Gemischte Aufgaben - lernen mit Serlo!

Gegeben sind die Punkte $A (1 | 1)$ , $B (7 | 1)$ und $C (3 | 4)$ sowie die Vektoren $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \end{array})$ und $\vec{w} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array})$ .

Berechne jeweils die Länge der Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
Betrag eines Vektors
geg.: $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \end{array})$
ges.: $| \vec{v} |$
Um die Länge (d. h. den Betrag) eines Vektors zu berechnen, bilde die Summe der Quadrate der Koordinaten und ziehe anschließend die Wurzel!
$| \vec{v} | = | (\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \end{array}) | = \sqrt{1^{2} + {\sqrt{3}}^{2}} =$
$= \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$
Verfahre beim Vektor $\vec{w}$ genauso!
$| \vec{w} | = | (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}) | = \sqrt{2^{2} + 0^{2}} =$
$= \sqrt{4 + 0} = \sqrt{4} = 2$
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Berechne das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ sowie das Maß des (spitzen) Winkels $φ$ , den sie einschließen!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
Skalarprodukt zweier Vektoren
geg.: $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \end{array})$ , $\vec{w} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array})$
ges.: $\vec{v} \circ \vec{w}$
Wende die Formel, nach der das Skalarprodukt definiert ist, an!
$\vec{v} \circ \vec{w} = (\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}) =$
$= 1 \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot 0 = 2 + 0 = 2$
Winkel zwischen den Vektoren
geg.: $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \end{array})$ , $\vec{w} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array})$
ges.: $φ = ∢ (\vec{v}, \vec{w})$
Wende die Formel mit dem Skalarprodukt an und berechne $c o s (φ)$ !
(Das Skalarprodukt sowie die Längen von $\vec{v}$ und $\vec{w}$ hast du bereits berechnet.)
$\cos (φ) = \frac{\vec{v} \circ \vec{w}}{| \vec{v} | \cdot | \vec{w} |} = \frac{2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$
Berechne nun mithilfe der inversen Kosinus-Funktion den Winkel $φ$ !
$φ = \cos^{- 1} (\frac{1}{2}) = 60 °$
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Zeichne das Dreieck $△ A B C$ und berechne seinen Flächeninhalt mithilfe der Determinante!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
Zeichnen des Dreiecks
Berechnen des Flächeninhalts
geg.: $A (1 | 1)$ , $B (7 | 1)$ , $C (3 | 4)$
ges.: $A_{△ A B C}$
Berechne zunächst die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ , die das Dreieck $△ A B C$ aufspannen!
$\vec{A B} = (\begin{array}{c} 7 - 1 \\ 1 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array})$
$\vec{A C} = (\begin{array}{c} 3 - 1 \\ 4 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array})$
Berechne nun die Determinante der Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ ! Achte dabei auf die richtige Reihenfolge der Vektoren (gegen den Uhrzeigersinn)!
$| \vec{A B} \vec{A C} | = | \begin{array}{cc} 6 & 2 \\ 0 & 3 \end{array} | = 6 \cdot 3 - 0 \cdot 2 =$
$= 18 - 0 = 18$
Berechne schließlich den Flächeninhalt des Dreiecks $△ A B C$ mithilfe der Determinanten-Formel!
$A_{△ A B C} = \frac{1}{2} | \vec{A B} \vec{A C} | = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$
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Betrag eines Vektors

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Skalarprodukt zweier Vektoren

Winkel zwischen den Vektoren

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Zeichnen des Dreiecks

Berechnen des Flächeninhalts

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