Gemischte Aufgaben

Hier findest du gemischte Aufgaben zu verschiedenen Rechenmethoden in der Vektorrechnung. Lerne, Längen, Flächeninhalte und weitere Größen zu bestimmen!

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Gegeben sind die Punkte $A (1 ∣ 1)$ , $B (7 ∣ 1)$ und $C (3 ∣ 4)$ sowie die Vektoren $\vec v = \begin{pmatrix}1\\\sqrt{3}\end{pmatrix}$ und $\vec w = \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}$ .
1. Berechne jeweils die Länge der Vektoren $\vec v$ und $\vec w$ !
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
  Betrag eines Vektors
  geg.: $\vec v = \begin{pmatrix}1\\\sqrt{3}\end{pmatrix}$
  ges.: $|\vec v|$
  Um die Länge (d. h. den Betrag) eines Vektors zu berechnen, bilde die Summe der Quadrate der Koordinaten und ziehe anschließend die Wurzel!
  $\displaystyle |\vec v| = \left|\begin{pmatrix}1\\\sqrt{3}\end{pmatrix}\right| = \sqrt{1^2+\sqrt{3}^2} =$
  $\displaystyle = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$
  Verfahre beim Vektor $\vec w$ genauso!
  $\displaystyle |\vec w| = \left|\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\right| = \sqrt{2^2+0^2} =$
  $\displaystyle = \sqrt{4+0} = \sqrt{4} = 2$
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2. Berechne das Skalarprodukt der Vektoren $\vec v$ und $\vec w$ sowie das Maß des (spitzen) Winkels $\varphi$ , den sie einschließen!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
  Skalarprodukt zweier Vektoren
  geg.: $\vec v = \begin{pmatrix}1\\\sqrt{3}\end{pmatrix}$ , $\vec w = \begin{pmatrix}2\\0 \end{pmatrix}$
  ges.: $\vec{v}\circ\vec{w}$
  Wende die Formel, nach der das Skalarprodukt definiert ist, an!
  $\displaystyle \vec v \circ \vec w = \begin{pmatrix}1\\\sqrt{3} \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix} =$
  $\displaystyle = 1\cdot2 + \sqrt{3}\cdot0 = 2 + 0 = 2$
  Winkel zwischen den Vektoren
  geg.: $\vec v = \begin{pmatrix}1\\\sqrt{3}\end{pmatrix}$ , $\vec w = \begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}$
  ges.: $\varphi = \sphericalangle(\vec v, \vec w)$
  Wende die Formel mit dem Skalarprodukt an und berechne $cos(\varphi)$ !
  (Das Skalarprodukt sowie die Längen von $\vec v$ und $\vec w$ hast du bereits berechnet.)
  $\displaystyle \cos(\varphi)=\frac{\vec{v}\circ\vec{w}}{|\vec{v}|\cdot|\vec{w}|}=\frac{2}{2\cdot2}=\frac{1}{2}$
  Berechne nun mithilfe der inversen Kosinus-Funktion den Winkel $\varphi$ !
  $\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=60°$
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3. Zeichne das Dreieck $\triangle{ABC}$ und berechne seinen Flächeninhalt mithilfe der Determinante!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
  Zeichnen des Dreiecks
  Berechnen des Flächeninhalts
  geg.: $A (1 ∣ 1)$ , $B (7 ∣ 1)$ , $C (3 ∣ 4)$
  ges.: $A_{\triangle{ABC}}$
  Berechne zunächst die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ , die das Dreieck $\triangle{ABC}$ aufspannen!
  $\displaystyle \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}7-1\\1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\0 \end{pmatrix}$
  $\displaystyle \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}3-1\\4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}$
  Berechne nun die Determinante der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ ! Achte dabei auf die richtige Reihenfolge der Vektoren (gegen den Uhrzeigersinn)!
  $\displaystyle \left|\overrightarrow{AB}\,\,\,\overrightarrow{AC}\right| = \begin{vmatrix}6&2\\0&3\end{vmatrix} = 6\cdot3 - 0\cdot2 =$
  $\displaystyle = 18 - 0 = 18$
  Berechne schließlich den Flächeninhalt des Dreiecks $\triangle{ABC}$ mithilfe der Determinanten-Formel!
  $\displaystyle A_{\triangle{ABC}} = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\,\,\,\overrightarrow{AC}\right| = \frac{1}{2}\cdot18 = 9$
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2
Gegeben sind die Punkte $P(3{,}5\mid2\mid5)$ , $M(1\mid-2{,}5\mid0{,}5)$ , $Q(-6\mid4\mid-0{,}5)$ .
1. Berechne alle Seitenlängen des Dreiecks $P M Q$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Für die Seitenlängen des Dreiecks berechnest Du die Vektoren zwischen den gegebenen Punkten und ermittelst dann den Betrag dieser Vektoren.
  $\overrightarrow{PM}=\begin{pmatrix}1-3{,}5\\-2{,}5-2\\0{,}5-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2{,}5\\-4{,}5\\-4{,}5\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}-6-3{,}5\\4-2\\-0{,}5-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9{,}5\\2\\-5{,}5\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{MQ}=\begin{pmatrix}-6-1\\4-(-2{,}5)\\-0{,}5-0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\6{,}5\\-1\end{pmatrix}$
  Für den Betrag eines Vektors gilt folgende Formel:
  $\displaystyle \left|\overrightarrow a\right|=\left|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
  Entsprechend berechnest Du die Seitenlängen im Dreieck:
  $\left|\overrightarrow {PM}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2{,}5\\-4{,}5\\-4{,}5\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2{,}5)^2+(-4{,}5)^2+(-4{,}5)^2}=\sqrt{46{,}75}$
  $\left|\overrightarrow {PQ}\right|=\left|\begin{pmatrix}-9{,}5\\2\\-5{,}5\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-9{,}5)^2+2^2+(-5{,}5)^2}=\sqrt{124{,}5}$
  $\left|\overrightarrow {MQ}\right|=\left|\begin{pmatrix}-7\\6{,}5\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-7)^2+6{,}5^2+(-1)^2}=\sqrt{92{,}25}$
  Antwort: Die Seitenlängen des Dreiecks betragen $\left|\overrightarrow {PM}\right|=\sqrt{46{,}75}\approx6{,}84 \mathrm{LE}$ , $\left|\overrightarrow {PQ}\right|=\sqrt{124{,}5}\approx11{,}16 \mathrm{LE}$ und $\left|\overrightarrow {MQ}\right|=\sqrt{92{,}25}\approx9{,}60 \mathrm{LE}$ .
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  Für die Seitenlängen des Dreiecks berechnest Du die Vektoren zwischen den gegebenen Punkten und ermittelst dann den Betrag dieser Vektoren.
2. Prüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Bei einem rechtwinkligen Dreieck müssen zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, d.h. ihr Skalarprodukt muss Null ergeben.
  Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ im Raum berechnet sich nach folgender Formel:
  $\displaystyle \vec{a}\odot\vec{b}\;={a_1b_1}+{a_2b_2} + {a_3b_3}$
  Berechne zuerst das Skalarprodukt zwischen den Vektoren $\overrightarrow{PM}$ und $\overrightarrow{PQ}$ .
  Beachte hierbei, dass die beiden Vektoren vom Punkt $P$ aus weggerichtet sind.
  $\overrightarrow{PM}\odot \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}-2{,}5\\-4{,}5\\-4{,}5\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}-9{,}5\\2\\-5{,}5\end{pmatrix}=$
  $(-2{,}5)\cdot(-9{,}5)+(-4{,}5)\cdot2+(-4{,}5)\cdot(-5{,}5)=23{,}75-9+24{,}75=39{,}5$
  Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist ungleich Null. Damit ist der Winkel $\sphericalangle (MPQ)$ ungleich $90^\circ$ .
  Berechne nun das Skalarprodukt zwischen den Vektoren $\overrightarrow{MP}$ und $\overrightarrow{MQ}$ .
  Beachte hierbei, dass die beiden Vektoren vom Punkt $M$ aus weggerichtet sind.
  $\overrightarrow{MP}\odot \overrightarrow{MQ}=\begin{pmatrix}2{,}5\\4{,}5\\4{,}5\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}-7\\6{,}5\\-1\end{pmatrix}=$
  $2{,}5\cdot(-7)+4{,}5\cdot6{,}5+4{,}5\cdot(-1)=-17{,}5+29{,}25-4{,}5=7{,}25$
  Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist ungleich Null. Damit ist der Winkel $\sphericalangle (QMP)$ ungleich $90^\circ$ .
  Berechne jetzt das Skalarprodukt zwischen den Vektoren $\overrightarrow{QP}$ und $\overrightarrow{QM}$ .
  Beachte hierbei, dass die beiden Vektoren vom Punkt $Q$ aus weggerichtet sind.
  $\overrightarrow{QP}\odot \overrightarrow{QM}=\begin{pmatrix}9{,}5\\-2\\5{,}5\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}7\\-6{,}5\\1\end{pmatrix}=$
  $9{,}5\cdot 7+(-2)\cdot (-6{,}5)+5{,}5\cdot 1=66{,}5+13+5{,}5=85$
  Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist ungleich Null. Damit ist der Winkel $\sphericalangle (PQM)$ ungleich $90^\circ$ .
  Antwort: Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
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  Bei einem rechtwinkligen Dreieck müssen zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, d.h. ihr Skalarprodukt muss Null ergeben.
3. Berechne alle Winkel des Dreiecks $P M Q$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Für die Winkelberechnung in einem Dreieck benötigst Du die Formel, nach der das Skalarprodukt definiert ist.
  $\displaystyle \cos\left(\alpha\right)=\frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left|\overrightarrow u\right|\cdot\left|\overrightarrow v\right|}$
  Berechne nun mithilfe der inversen Kosinus-Funktion den Winkel $\alpha$ :
  $\displaystyle \alpha=\arccos\left(\frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left|\overrightarrow u\right|\cdot\left|\overrightarrow v\right|}\right)$
  Zur Vereinfachung der Schreibweise setze für den Winkel $\sphericalangle (MPQ)=\alpha$ ,
  für den Winkel $\sphericalangle (QMP)=\beta$ und für den Winkel $\sphericalangle (PQM)=\gamma$ .
  Die Werte für die entsprechenden Skalarprodukte hast Du schon in Teilaufgabe 2 berechnet. Die Beträge der entsprechenden Vektoren hast Du in Teilaufgabe 1 berechnet.
  $\displaystyle \alpha=\arccos\left(\frac{\overrightarrow {PM}\circ\overrightarrow {PQ}}{\left|\overrightarrow {PM}\right|\cdot\left|\overrightarrow {PQ}\right|}\right)=\arccos\left(\frac{39{,}5}{\sqrt{46{,}75}\cdot\sqrt{124{,}5}}\right)\approx58{,}82^\circ$
  $\displaystyle \beta=\arccos\left(\frac{\overrightarrow {MP}\circ\overrightarrow {MQ}}{\left|\overrightarrow {MP}\right|\cdot\left|\overrightarrow {MQ}\right|}\right)=\arccos\left(\frac{7{,}25}{\sqrt{46{,}75}\cdot\sqrt{92{,}25}}\right)\approx 83{,}66^\circ$
  $\displaystyle \gamma=\arccos\left(\frac{\overrightarrow {QP}\circ\overrightarrow {QM}}{\left|\overrightarrow {QP}\right|\cdot\left|\overrightarrow {QM}\right|}\right)=\arccos\left(\frac{85}{\sqrt{124{,}5}\cdot\sqrt{92{,}25}}\right)\approx37{,}52^\circ$
  Antwort: Die Winkel im Dreieck betragen:
  $\alpha \approx 58{,}82^\circ,\;\; \beta \approx 83{,}66^\circ$ und $\gamma \approx 37{,}52^\circ$
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  Für die Winkelberechnung in einem Dreieck benötigst Du die Formel, nach der das Skalarprodukt definiert ist.
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Ordne richtig zu!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundbegriffe der Vektorrechnung
Vektor $\overrightarrow{AB}=\vec B-\vec A$
Betrag des Vektors $\vec A=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
Mittelpunkt $M$ einer Strecke $[A B]$ : $\vec M=0{,}5\cdot(\vec A+\vec B)$
Skalarprodukt $\vec a\circ \vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
Vektor $\vec a \perp \vec b$ : $\vec a\circ \vec b=0$
$\vec a$ und $\vec b$ linear abhängig: $\vec a=k\cdot \vec b$
Winkel zwischen $\vec a$ und $\vec b$ : $\cos(\alpha)=\dfrac{\vec a\circ \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}$
Kreuzprodukt $\vec a$ und $\vec b$ : $\vec a\times \vec b$