Gegeben sind die Punkte P(3,5âŁ2âŁ5), M(1âŁâ2,5âŁ0,5), Q(â6âŁ4âŁâ0,5).
Berechne alle SeitenlÀngen des Dreiecks PMQ
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
FĂŒr die SeitenlĂ€ngen des Dreiecks berechnest Du die Vektoren zwischen den gegebenen Punkten und ermittelst dann den Betrag dieser Vektoren.
PM=â1â3,5â2,5â20,5â5ââ=ââ2,5â4,5â4,5ââ
PQâ=ââ6â3,54â2â0,5â5ââ=ââ9,52â5,5ââ
MQâ=ââ6â14â(â2,5)â0,5â0,5ââ=ââ76,5â1ââ
FĂŒr den Betrag eines Vektors gilt folgende Formel:
âaâ=ââa1âa2âa3ââââ=a12â+a22â+a32ââEntsprechend berechnest Du die SeitenlĂ€ngen im Dreieck:
âPMâ=âââ2,5â4,5â4,5âââ=(â2,5)2+(â4,5)2+(â4,5)2â=46,75â
âPQââ=âââ9,52â5,5âââ=(â9,5)2+22+(â5,5)2â=124,5â
âMQââ=âââ76,5â1âââ=(â7)2+6,52+(â1)2â=92,25â
Antwort: Die SeitenlĂ€ngen des Dreiecks betragenâPMâ=46,75ââ6,84LE , âPQââ=124,5ââ11,16LE und âMQââ=92,25ââ9,60LE.
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FĂŒr die SeitenlĂ€ngen des Dreiecks berechnest Du die Vektoren zwischen den gegebenen Punkten und ermittelst dann den Betrag dieser Vektoren.
PrĂŒfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Bei einem rechtwinkligen Dreieck mĂŒssen zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, d.h. ihr Skalarprodukt muss Null ergeben.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b im Raum berechnet sich nach folgender Formel:
aâb=a1âb1â+a2âb2â+a3âb3âBerechne zuerst das Skalarprodukt zwischen den Vektoren PM und PQâ.
Beachte hierbei, dass die beiden Vektoren vom Punkt P aus weggerichtet sind.
PMâPQâ=ââ2,5â4,5â4,5âââââ9,52â5,5ââ=
(â2,5)â (â9,5)+(â4,5)â 2+(â4,5)â (â5,5)=23,75â9+24,75=39,5
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist ungleich Null. Damit ist der Winkel âą(MPQ) ungleich 90â.
Berechne nun das Skalarprodukt zwischen den Vektoren MP und MQâ.
Beachte hierbei, dass die beiden Vektoren vom Punkt M aus weggerichtet sind.
MPâMQâ=â2,54,54,5âââââ76,5â1ââ=
2,5â (â7)+4,5â 6,5+4,5â (â1)=â17,5+29,25â4,5=7,25
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist ungleich Null. Damit ist der Winkel âą(QMP) ungleich 90â.
Berechne jetzt das Skalarprodukt zwischen den Vektoren QPâ und QMâ.
Beachte hierbei, dass die beiden Vektoren vom Punkt Q aus weggerichtet sind.
QPââQMâ=â9,5â25,5ââââ7â6,51ââ=
9,5â 7+(â2)â (â6,5)+5,5â 1=66,5+13+5,5=85
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist ungleich Null. Damit ist der Winkel âą(PQM) ungleich 90â.
Antwort: Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
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Bei einem rechtwinkligen Dreieck mĂŒssen zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, d.h. ihr Skalarprodukt muss Null ergeben.
Berechne alle Winkel des Dreiecks PMQ.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
FĂŒr die Winkelberechnung in einem Dreieck benötigst Du die Formel, nach der das Skalarprodukt definiert ist.
cos(α)=âuââ âvâuâvâ
Berechne nun mithilfe der inversen Kosinus-Funktion den Winkel α:
α=arccosââuââ âvâuâvââZur Vereinfachung der Schreibweise setze fĂŒr den Winkel âą(MPQ)=α,
fĂŒr den Winkel âą(QMP)=ÎČ und fĂŒr den Winkel âą(PQM)=Îł.
Die Werte fĂŒr die entsprechenden Skalarprodukte hast Du schon in Teilaufgabe 2 berechnet. Die BetrĂ€ge der entsprechenden Vektoren hast Du in Teilaufgabe 1 berechnet.
α=arccosââPMââ âPQââPMâPQâââ=arccos(46,75ââ 124,5â39,5â)â58,82â
ÎČ=arccosââMPââ âMQââMPâMQâââ=arccos(46,75ââ 92,25â7,25â)â83,66â
Îł=arccosââQPâââ âQMââQPââQMâââ=arccos(124,5ââ 92,25â85â)â37,52â
Antwort: Die Winkel im Dreieck betragen:
αâ58,82â,ÎČâ83,66â und Îłâ37,52â
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FĂŒr die Winkelberechnung in einem Dreieck benötigst Du die Formel, nach der das Skalarprodukt definiert ist.