Für die Seitenlängen des Dreiecks berechnest Du die Vektoren zwischen den gegebenen Punkten und ermittelst dann den Betrag dieser Vektoren.

$\overrightarrow{PM}=\left(\begin{array}{c}1-\mathrm{3,5}\\ -\mathrm{2,5}-2\\ \mathrm{0,5}-5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{2,5}\\ -\mathrm{4,5}\\ -\mathrm{4,5}\end{array}\right)$

$\overrightarrow{PQ}=\left(\begin{array}{c}-6-\mathrm{3,5}\\ 4-2\\ -\mathrm{0,5}-5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{9,5}\\ 2\\ -\mathrm{5,5}\end{array}\right)$

$\overrightarrow{MQ}=\left(\begin{array}{c}-6-1\\ 4-(-\mathrm{2,5})\\ -\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7\\ \mathrm{6,5}\\ -1\end{array}\right)$

Für den Betrag eines Vektors gilt folgende Formel:

Entsprechend berechnest Du die Seitenlängen im Dreieck:

$\left|\overrightarrow{PM}\right|=\left|\left(\begin{array}{c}-\mathrm{2,5}\\ -\mathrm{4,5}\\ -\mathrm{4,5}\end{array}\right)\right|=\sqrt{(-\mathrm{2,5}{)}^2+(-\mathrm{4,5}{)}^2+(-\mathrm{4,5}{)}^2}=\sqrt{\mathrm{46,75}}$

$\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\left|\left(\begin{array}{c}-\mathrm{9,5}\\ 2\\ -\mathrm{5,5}\end{array}\right)\right|=\sqrt{(-\mathrm{9,5}{)}^2+2^2+(-\mathrm{5,5}{)}^2}=\sqrt{\mathrm{124,5}}$

$\left|\overrightarrow{MQ}\right|=\left|\left(\begin{array}{c}-7\\ \mathrm{6,5}\\ -1\end{array}\right)\right|=\sqrt{(-7{)}^2+{\mathrm{6,5}}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{\mathrm{92,25}}$

Antwort: Die Seitenlängen des Dreiecks betragen$\left|\overrightarrow{PM}\right|=\sqrt{\mathrm{46,75}}\approx \mathrm{6,84}\mathrm{LE}$ , $\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{\mathrm{124,5}}\approx \mathrm{11,16}\mathrm{LE}$ und $\left|\overrightarrow{MQ}\right|=\sqrt{\mathrm{92,25}}\approx \mathrm{9,60}\mathrm{LE}$.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck müssen zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, d.h. ihr Skalarprodukt muss Null ergeben.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ im Raum berechnet sich nach folgender Formel:

Berechne zuerst das Skalarprodukt zwischen den Vektoren $\overrightarrow{PM}$ und $\overrightarrow{PQ}$.

Beachte hierbei, dass die beiden Vektoren vom Punkt $P$ aus weggerichtet sind.

$\overrightarrow{PM}\odot \overrightarrow{PQ}=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{2,5}\\ -\mathrm{4,5}\\ -\mathrm{4,5}\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}-\mathrm{9,5}\\ 2\\ -\mathrm{5,5}\end{array}\right)=$

$(-\mathrm{2,5})\cdot (-\mathrm{9,5})+(-\mathrm{4,5})\cdot 2+(-\mathrm{4,5})\cdot (-\mathrm{5,5})=\mathrm{23,75}-9+\mathrm{24,75}=\mathrm{39,5}$

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist ungleich Null. Damit ist der Winkel $\sphericalangle (MPQ)$ ungleich ${90}^{\circ }$.

Berechne nun das Skalarprodukt zwischen den Vektoren $\overrightarrow{MP}$ und $\overrightarrow{MQ}$.

Beachte hierbei, dass die beiden Vektoren vom Punkt $M$ aus weggerichtet sind.

$\overrightarrow{MP}\odot \overrightarrow{MQ}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{2,5}\\ \mathrm{4,5}\\ \mathrm{4,5}\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}-7\\ \mathrm{6,5}\\ -1\end{array}\right)=$

$\mathrm{2,5}\cdot (-7)+\mathrm{4,5}\cdot \mathrm{6,5}+\mathrm{4,5}\cdot (-1)=-\mathrm{17,5}+\mathrm{29,25}-\mathrm{4,5}=\mathrm{7,25}$

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist ungleich Null. Damit ist der Winkel $\sphericalangle (QMP)$ ungleich ${90}^{\circ }$.

Berechne jetzt das Skalarprodukt zwischen den Vektoren $\overrightarrow{QP}$ und $\overrightarrow{QM}$.

Beachte hierbei, dass die beiden Vektoren vom Punkt $Q$ aus weggerichtet sind.

$\overrightarrow{QP}\odot \overrightarrow{QM}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{9,5}\\ -2\\ \mathrm{5,5}\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}7\\ -\mathrm{6,5}\\ 1\end{array}\right)=$

$\mathrm{9,5}\cdot 7+(-2)\cdot (-\mathrm{6,5})+\mathrm{5,5}\cdot 1=\mathrm{66,5}+13+\mathrm{5,5}=85$

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist ungleich Null. Damit ist der Winkel $\sphericalangle (PQM)$ ungleich ${90}^{\circ }$.

Antwort: Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

Für die Winkelberechnung in einem Dreieck benötigst Du die Formel, nach der das Skalarprodukt definiert ist.

$${\displaystyle \cos \left(\alpha \right)=\frac{\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot \left|\overrightarrow{v}\right|}}$$

Berechne nun mithilfe der inversen Kosinus-Funktion den Winkel $\alpha$:

Zur Vereinfachung der Schreibweise setze für den Winkel $\sphericalangle (MPQ)=\alpha$,

für den Winkel $\sphericalangle (QMP)=\beta$ und für den Winkel $\sphericalangle (PQM)=\gamma$.

Die Werte für die entsprechenden Skalarprodukte hast Du schon in Teilaufgabe 2 berechnet. Die Beträge der entsprechenden Vektoren hast Du in Teilaufgabe 1 berechnet.

$${\displaystyle \alpha =\arccos \left(\frac{\overrightarrow{PM}\circ \overrightarrow{PQ}}{\left|\overrightarrow{PM}\right|\cdot \left|\overrightarrow{PQ}\right|}\right)=\arccos \left(\frac{\mathrm{39,5}}{\sqrt{\mathrm{46,75}}\cdot \sqrt{\mathrm{124,5}}}\right)\approx {\mathrm{58,82}}^{\circ }}$$

$${\displaystyle \beta =\arccos \left(\frac{\overrightarrow{MP}\circ \overrightarrow{MQ}}{\left|\overrightarrow{MP}\right|\cdot \left|\overrightarrow{MQ}\right|}\right)=\arccos \left(\frac{\mathrm{7,25}}{\sqrt{\mathrm{46,75}}\cdot \sqrt{\mathrm{92,25}}}\right)\approx {\mathrm{83,66}}^{\circ }}$$

$${\displaystyle \gamma =\arccos \left(\frac{\overrightarrow{QP}\circ \overrightarrow{QM}}{\left|\overrightarrow{QP}\right|\cdot \left|\overrightarrow{QM}\right|}\right)=\arccos \left(\frac{85}{\sqrt{\mathrm{124,5}}\cdot \sqrt{\mathrm{92,25}}}\right)\approx {\mathrm{37,52}}^{\circ }}$$

Antwort: Die Winkel im Dreieck betragen:

$\alpha \approx {\mathrm{58,82}}^{\circ },\beta \approx {\mathrm{83,66}}^{\circ }$ und $\gamma \approx {\mathrm{37,52}}^{\circ }$