Gemischte Aufgaben - lernen mit Serlo!

Gegeben sind die Punkte $P(3{,}5\mid2\mid5)$ , $M(1\mid-2{,}5\mid0{,}5)$ , $Q(-6\mid4\mid-0{,}5)$ .

Berechne alle Seitenlängen des Dreiecks $P M Q$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Für die Seitenlängen des Dreiecks berechnest Du die Vektoren zwischen den gegebenen Punkten und ermittelst dann den Betrag dieser Vektoren.
$\overrightarrow{PM}=\begin{pmatrix}1-3{,}5\\-2{,}5-2\\0{,}5-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2{,}5\\-4{,}5\\-4{,}5\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}-6-3{,}5\\4-2\\-0{,}5-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9{,}5\\2\\-5{,}5\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{MQ}=\begin{pmatrix}-6-1\\4-(-2{,}5)\\-0{,}5-0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\6{,}5\\-1\end{pmatrix}$
Für den Betrag eines Vektors gilt folgende Formel:
$\displaystyle \left|\overrightarrow a\right|=\left|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
Entsprechend berechnest Du die Seitenlängen im Dreieck:
$\left|\overrightarrow {PM}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2{,}5\\-4{,}5\\-4{,}5\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2{,}5)^2+(-4{,}5)^2+(-4{,}5)^2}=\sqrt{46{,}75}$
$\left|\overrightarrow {PQ}\right|=\left|\begin{pmatrix}-9{,}5\\2\\-5{,}5\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-9{,}5)^2+2^2+(-5{,}5)^2}=\sqrt{124{,}5}$
$\left|\overrightarrow {MQ}\right|=\left|\begin{pmatrix}-7\\6{,}5\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-7)^2+6{,}5^2+(-1)^2}=\sqrt{92{,}25}$
Antwort: Die Seitenlängen des Dreiecks betragen $\left|\overrightarrow {PM}\right|=\sqrt{46{,}75}\approx6{,}84 \mathrm{LE}$ , $\left|\overrightarrow {PQ}\right|=\sqrt{124{,}5}\approx11{,}16 \mathrm{LE}$ und $\left|\overrightarrow {MQ}\right|=\sqrt{92{,}25}\approx9{,}60 \mathrm{LE}$ .
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Für die Seitenlängen des Dreiecks berechnest Du die Vektoren zwischen den gegebenen Punkten und ermittelst dann den Betrag dieser Vektoren.
Prüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Bei einem rechtwinkligen Dreieck müssen zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, d.h. ihr Skalarprodukt muss Null ergeben.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ im Raum berechnet sich nach folgender Formel:
$\displaystyle \vec{a}\odot\vec{b}\;={a_1b_1}+{a_2b_2} + {a_3b_3}$
Berechne zuerst das Skalarprodukt zwischen den Vektoren $\overrightarrow{PM}$ und $\overrightarrow{PQ}$ .
Beachte hierbei, dass die beiden Vektoren vom Punkt $P$ aus weggerichtet sind.
$\overrightarrow{PM}\odot \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}-2{,}5\\-4{,}5\\-4{,}5\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}-9{,}5\\2\\-5{,}5\end{pmatrix}=$
$(-2{,}5)\cdot(-9{,}5)+(-4{,}5)\cdot2+(-4{,}5)\cdot(-5{,}5)=23{,}75-9+24{,}75=39{,}5$
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist ungleich Null. Damit ist der Winkel $\sphericalangle (MPQ)$ ungleich $90^\circ$ .
Berechne nun das Skalarprodukt zwischen den Vektoren $\overrightarrow{MP}$ und $\overrightarrow{MQ}$ .
Beachte hierbei, dass die beiden Vektoren vom Punkt $M$ aus weggerichtet sind.
$\overrightarrow{MP}\odot \overrightarrow{MQ}=\begin{pmatrix}2{,}5\\4{,}5\\4{,}5\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}-7\\6{,}5\\-1\end{pmatrix}=$
$2{,}5\cdot(-7)+4{,}5\cdot6{,}5+4{,}5\cdot(-1)=-17{,}5+29{,}25-4{,}5=7{,}25$
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist ungleich Null. Damit ist der Winkel $\sphericalangle (QMP)$ ungleich $90^\circ$ .
Berechne jetzt das Skalarprodukt zwischen den Vektoren $\overrightarrow{QP}$ und $\overrightarrow{QM}$ .
Beachte hierbei, dass die beiden Vektoren vom Punkt $Q$ aus weggerichtet sind.
$\overrightarrow{QP}\odot \overrightarrow{QM}=\begin{pmatrix}9{,}5\\-2\\5{,}5\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}7\\-6{,}5\\1\end{pmatrix}=$
$9{,}5\cdot 7+(-2)\cdot (-6{,}5)+5{,}5\cdot 1=66{,}5+13+5{,}5=85$
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist ungleich Null. Damit ist der Winkel $\sphericalangle (PQM)$ ungleich $90^\circ$ .
Antwort: Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
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Bei einem rechtwinkligen Dreieck müssen zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, d.h. ihr Skalarprodukt muss Null ergeben.
Berechne alle Winkel des Dreiecks $P M Q$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Für die Winkelberechnung in einem Dreieck benötigst Du die Formel, nach der das Skalarprodukt definiert ist.
$\displaystyle \cos\left(\alpha\right)=\frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left|\overrightarrow u\right|\cdot\left|\overrightarrow v\right|}$
Berechne nun mithilfe der inversen Kosinus-Funktion den Winkel $\alpha$ :
$\displaystyle \alpha=\arccos\left(\frac{\overrightarrow u\circ\overrightarrow v}{\left|\overrightarrow u\right|\cdot\left|\overrightarrow v\right|}\right)$
Zur Vereinfachung der Schreibweise setze für den Winkel $\sphericalangle (MPQ)=\alpha$ ,
für den Winkel $\sphericalangle (QMP)=\beta$ und für den Winkel $\sphericalangle (PQM)=\gamma$ .
Die Werte für die entsprechenden Skalarprodukte hast Du schon in Teilaufgabe 2 berechnet. Die Beträge der entsprechenden Vektoren hast Du in Teilaufgabe 1 berechnet.
$\displaystyle \alpha=\arccos\left(\frac{\overrightarrow {PM}\circ\overrightarrow {PQ}}{\left|\overrightarrow {PM}\right|\cdot\left|\overrightarrow {PQ}\right|}\right)=\arccos\left(\frac{39{,}5}{\sqrt{46{,}75}\cdot\sqrt{124{,}5}}\right)\approx58{,}82^\circ$
$\displaystyle \beta=\arccos\left(\frac{\overrightarrow {MP}\circ\overrightarrow {MQ}}{\left|\overrightarrow {MP}\right|\cdot\left|\overrightarrow {MQ}\right|}\right)=\arccos\left(\frac{7{,}25}{\sqrt{46{,}75}\cdot\sqrt{92{,}25}}\right)\approx 83{,}66^\circ$
$\displaystyle \gamma=\arccos\left(\frac{\overrightarrow {QP}\circ\overrightarrow {QM}}{\left|\overrightarrow {QP}\right|\cdot\left|\overrightarrow {QM}\right|}\right)=\arccos\left(\frac{85}{\sqrt{124{,}5}\cdot\sqrt{92{,}25}}\right)\approx37{,}52^\circ$
Antwort: Die Winkel im Dreieck betragen:
$\alpha \approx 58{,}82^\circ,\;\; \beta \approx 83{,}66^\circ$ und $\gamma \approx 37{,}52^\circ$
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Für die Winkelberechnung in einem Dreieck benötigst Du die Formel, nach der das Skalarprodukt definiert ist.

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