Aufgaben zu Hypothesentests - lernen mit Serlo!

Es wird vermutet, dass der Anteil der Befürworter des Rauchverbots an Bushaltestellen und Bahnhöfen in der Bevölkerung gegenwärtig bei höchstens $60 \%$ liegt. Um diese Vermutung zu testen, wird eine Befragung von $100$ zufällig ausgewählten Personen durchgeführt.

Wie muss die Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich lauten, wenn die Vermutung mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5\%$ irrtümlich abgelehnt werden soll?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formulieren der Nullhypothese
Formulieren der Nullhypothese
Der Anteil der Befürworter des Rauchverbots in der Bevölkerung soll mit $p$ bezeichnet werden.
Formuliere die Nullhypothese $H_0$ !
Festlegen der Testgröße und des Stichprobenumfangs
Es werden $100$ Personen zufällig ausgewählt und befragt.
Gib den Stichprobenumfang $n$ an!
Wähle eine sinnvolle Testgröße $Z$ !
$Z$ : "Anzahl der Rauchverbot-Befürworter unter den befragten Personen"
Überlege dir die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Z$ !
$Z$ ist (in guter Näherung) binomialverteilt nach $B(100;0{,}6)$
Bestimmen der Entscheidungsregel
Man wird sich für $H_0$ entscheiden, wenn nur sehr wenige der $100$ befragten Personen das Rauchverbot befürworten.
Gib auf der Grundlage dieser Überlegung die Form des kritischen Bereichs $K$ an!
Verwende nun das Signifikanzniveau $\alpha$ , um eine Bedingung anzugeben, mit der $k$ bestimmt werden kann!
$k$ ist die kleinste ganze Zahl, für die $P_{0{,}6}^{100}(Z\ge k) \le 0{,}05$ gilt
Gehe zum Gegenereignis über, um das Tafelwerk nutzen zu können!
Ermittle mithilfe eines geeigneten Tafelwerks den Wert von $k$ !
Gib den Annahme- und Ablehnungsbereich an!
Formuliere einen Antwortsatz!
Somit lautet die Entscheidungsregel: Wenn mindestens $69$ der befragten Personen das Rauchverbot befürworten, wird die Vermutung abgelehnt.
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei dieser Entscheidungsregel die Vermutung angenommen, obwohl der Anteil der Rauchverbot-Befürworter tatsächlich $70\%$ beträgt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formulieren der Hypothesen
Berechnen des Fehlers 2. Art
$H_0$ angenommen: $Z\in\overline{K}$ , also $Z\le 68$
Befürworter-Anteil $70\%$ : $p=0{,}7$
Gib zunächst die zu berechnende Wahrscheinlichkeit an!
Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit mithilfe eines geeigneten Tafelwerks!
Formuliere einen Antwortsatz!
Die Nullhypothese wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $36{,}7\,\%$ irrtümlich angenommen.
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Formulieren der Nullhypothese

Festlegen der Testgröße und des Stichprobenumfangs

Bestimmen der Entscheidungsregel

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Berechnen des Fehlers 2. Art

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