Die maximale Definitionsmenge einer Bruchgleichung gibt an, welche Werte für die Variable eingesetzt werden dürfen.
Nenner darf nicht 0 sein
Im Nenner eines Bruches darf niemals Null stehen. Alle Zahlen, für die sich beim Einsetzen in der Gleichung irgendwo im Nenner Null ergibt, müssen deshalb aus der Definitionsmenge einer Bruchgleichung ausgeschlossen werden.
Beispiel einer Bruchgleichung
Beide Nenner dürfen nicht Null werden.
Mathematische Schreibweise
Um Zahlen aus der Grundmenge auszuschließen, verwendet man das Mengenoperationszeichen %%\setminus%% (also einen nach rückwärts gekippten Strich).
- "%%\setminus%%" bedeutet "ohne".
- Danach kommen die ausgeschlossenen Zahlen.
- Um diese Zahlen herum steht eine Mengenklammer: "%%\left\{ … \right\}%%".
%%\mathbb Q\setminus \left\{ -\frac {1}{5} ; 8 \right\}%% bezeichnet die Menge aller rationalen Zahlen außer %%-\frac {1}{5}%% und %%8%%.
Diese Menge würde man als Definitionsmenge für eine Bruchgleichung wählen, wenn
- die Grundmenge %%\mathbb Q%% ist, und
- aus der Definitionsmenge %%-\frac {1}{5}%% und %%8%% ausgeschlossen werden müssen.
Anmerkung zur Grundmenge
Als Grundmenge wird natürlich in der Regel die größtmögliche Zahlenmenge verwendet, die zur Verfügung steht.
Je nach Klassenstufe und Lehrplan kann das aber entweder die Menge %%\mathbb R%% der reellen Zahlen
oder aber nur die Menge %%\mathbb Q%% der rationalen Zahlen sein.
Wenn bei einer Bruchgleichung die Zahlen %%-\frac {1}{5}%% und %%8%% ausgeschlossen werden müssen, dann ist die Definitionsmenge
- %%\mathbb D=\mathbb Q\setminus \left\{ -\frac {1}{5} ; 8 \right\}%%,
falls die Grundmenge %%\mathbb Q%% ist,
und
- %%\mathbb D=\mathbb R\setminus \left\{ -\frac {1}{5} ; 8 \right\}%%,
falls die Grundmenge %%\mathbb R%% ist.
Vorgehensweise zum Bestimmen der Definitionsmenge
- Für jeden der vorkommenden Brüche
- schreibt man den Nenner heraus
- setzt ihn gleich 0
- und löst nach der Variablen auf.
- Alle Zahlen, die man dabei als Lösungen erhält, muss man bei der Definitionsmenge ausschließen:
- Man schreibt die Grundmenge hin (meist %%\mathbb Q%% oder %%\mathbb R%%),
- dann %%\setminus%%
- und dann in Mengenklammern all die Zahlen, für die irgendein Nenner Null werden würde.
Allgemeines Vorgehen erklärt am Beispiel
Allgemein (vgl. oben):
Beispiel:
$$\frac{-6x}{x^2-16} +\frac{2x+8}{5x+2}=2$$
Für jeden der vorkommenden Brüche
- schreibt man den Nenner heraus,
$$x^2-16$$
$$5x+2$$
- setzt ihn gleich 0
$$x^2-16=0$$
$$5x+2=0$$
- und löst nach der Variablen auf.
%%\begin {array}{rcll}x^2-16 &=&0 &|+16;\ \\ x^2 &= &16 & \\ x=4 &\vee &x &=-4; \end{array}%%
%%\begin {array}{rcll}5x+2 &=&0 &|-2 \\ 5x &= &-2&|:5 \\ x &=&-\dfrac{2}{5} \end{array}%%
Die so erhaltenen Zahlen muss man bei der Definitionsmenge
- aus der Grundmenge ausschließen.
Im Beispiel erhält man
%%\mathbb{D}= \mathbb{Q}\setminus \left\{-4;4;-\frac{2}{5} \right\}%%, falls die Grundmenge %%\mathbb {Q}%% ist,
bzw.
%%\mathbb{D}= \mathbb{R}\setminus \left\{-4;4;-\frac{2}{5} \right\}%%, falls die Grundmenge %%\mathbb {R}%% ist.
weitere Übungsaufgaben: Definitionsmenge einer Bruchgleichung bestimmen
Warum ist die maximale Definitionsmenge wichtig?
In der Regel wird vor dem Lösen der Bruchgleichung der Definitionsbereich (oder die Definitionsmenge) der Bruchgleichung bestimmt.
Wenn man später die Gleichung gelöst und ein Ergebnis erhalten hat, muss man nachprüfen, ob es überhaupt im Definitionsbereich liegt. Wenn es nicht darin enthalten ist, ist es nicht Lösung der Gleichung, auch wenn man ansonsten richtig gerechnet hat.
