Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

Lies die Nullstelle(n) folgender Funktionen ab

$f(x)= 2x-8$

$g(x)=-x^2-7x-10$

$h(x)=\frac{1}{10}(x + 6) (x - 2) (x - 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion $f$ die x-Achse genau in den Punkten (-6|0), (2|0) und (4|0) schneidet.
⇒ Nullstellen bei $x=−6$ und $x=2$ und $x=4$ .
Graphische Veranschaulichunng
Lösung durch Berechnung:
$h(x)=\frac{1}{10}(x+6)(x-2)(x-4)$
Zur Berechnung der Nullstellen setze $h(x)=0$ .
$\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0$
Ein Produkt aus mehreren Faktoren ist immer dann $0$ , wenn mindestens ein Faktor $0$ ist.
Für $x=-6$ , $x=2$ und $x=4$ gilt:
$\frac1{10}(x+6)(x-2)(x-4)=0$
Die Nullstellen der Funktion liegen bei $x=-6$ , $x=2$ und $x=4$ .
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$f(x)=3x^2+6x+3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Hier werden die Nullstellen erst graphisch und dann rechnerisch bestimmt.
Man sieht, dass der Graph der Funktion f die x-Achse genau in einem Punkt (-1|0) berührt.
⇒ Nullstelle bei x=−1.
Graphische Veranschaulichung
Lösung durch Berechnung
$f(x)=3x^2+6x+3$
Zur Berechnung der Nullstellen setze $f(x)=0$ .
$3x^2+6x+3=0$
Kürze durch 3.
$x^2+2x+1=0$
Ermittle die Lösung durch die Mitternachtsformel:
$x_{1{,}2}=\frac{-2 \pm\sqrt{(2)^2-4\cdot 1 \cdot1}}{2 \cdot 1}$
$x_{1{,}2}=\frac{-2 \pm\sqrt{0}}{2 \cdot 1}=\frac{-2 \pm 0}{2}=-1$
$\Rightarrow x_1 = -1$
Die Nullstelle liegt also bei $x_1= -1$ .
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$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x-8$
	↓	Setze $f(x)=0$
$\displaystyle 2x-8$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4$

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -x^2-7x-10$
	↓	Setze $g(x)=0$
$\displaystyle -x^2-7x-10$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4(-1)(-10)}}{2(-1)}$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm\sqrt{49-40}}{-2}$
	↓	Berechne die Wurzel
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{7\pm3}{-2}$
	↓	1 Fall: $+$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{-2}$
	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	2 Fall: $-$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{7-3}{-2}$
	$=$	$\displaystyle -2$

Graphische Veranschaulichung:

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