Es ist cos⁡(2)≈−0,42\cos(2)\approx-0{,}42. Bestimme 3 weitere Winkel, die den gleichen Kosinuswert haben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Periode einer Funktion

Gegeben: cos⁡(2)≈−0,42\cos(2) \approx -0,42
Gesucht: Weitere Stellen a,b,ca,b,c mit cos⁡(a)=cos⁡(b)=cos⁡(c)=cos⁡(2)\cos(a)=\cos(b)=\cos(c)=\cos(2)
Zeichne die Kosinusfunktion, um die Periode zu bestimmen.
Betrachtet man den Graphen der Kosinusfunktion, so erkennt man, dass sich der Kosinus alle 2π2\pi wiederholt. Das heißt, Kosinus hat die Periode 2π2\pi.
Kosinus
Da der Kosinus Periode 2π2 \pi hat, gilt allgemein
cos⁡(x)=cos⁡(x+2π)=cos⁡(x+4π)=…\displaystyle \cos(x)=\cos(x+2\pi)=\cos(x+4\pi)=…
für jede Stelle xx und damit
cos⁡(2)=cos⁡(2+2π)=cos⁡(2+4π)=…\displaystyle \cos(2)=\cos(2+2\pi)=\cos(2+4\pi)=…
Daher findet man weitere Stellen a,b,ca,b,c zum Beispiel mit
a=2+2π,b=2+4π,c=2+6π\displaystyle a=2+2\pi, b=2+4\pi, c=2+6\pi
Sinuswerte
Alternative Lösung
Jetzt beschreiben wir eine andere Möglichkeit, wie du die Aufgabe lösen kannst.
Hierfür benötigst Du zusätzlich folgendes Grundwissen:
Bisher haben wir den Punkt AA mit den Koordinaten (2,cos⁡(2))\left(2,\cos\left(2\right)\right).
Wir wissen, dass cos⁡(x−2π)=cos⁡(x)\cos\left(x-2\pi\right)=\cos\left(x\right) ist.
Daher können wir a=2−2πa=2-2\pi nehmen, da der Kosinus dort denselben Wert hat (Punkt DD).

Wie man in der Skizze sieht, ist der Graph der Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur yy-Achse. Daher erhalten wir die Punkte CC als Spiegelpunkt zu AA mit b=−2 b=-2\ und BB als Spiegelpunkt zu DD mit c=2 π−2c=2\ \pi-2 als weitere Lösungen.

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