Gegeben:

$\sin^2(x)-\cos^2(x)=1$

Verwende den trigonometrischen Pythagoras wie im Hinweis.

$\sin^2(x)-\cos^2(x)=\sin^2(x)+\cos^2(x)$

Subtrahiere auf beiden Seiten $\sin^2(x)$ und addiere auf beiden Seiten $\cos^2(x)$.

$2 \cdot \cos^2(x) = 0$

Teile durch $2$ und ziehe die Wurzel.

$\cos(x)=0$

Lese aus dem Graphen der Kosinusfunktion ab, welche Nullstellen der Kosinus zwischen $0$ und $2 \pi$ hat.

$x = \dfrac{\pi}{2}$ oder $x=\dfrac{3\pi}{2}$

$\left(1-\cos(x)\right)\left(1+\cos(x) \right) = \sin(x)$

Verwende auf der linken Seite der Gleichung die dritte binomische Formel.

$1-\cos^2(x) = \sin(x)$

Verwende den trigonometrischen Pythagoras.

$\sin^2(x)=\sin(x)$

Bringe $\sin(x)$ auf die andere Seite und klammere dann $\sin(x)$ aus.

$\sin(x) \left( \sin(x) - 1 \right) = 0$

Diese Gleichung ist erfüllt, falls $\sin(x)=0$ oder $\sin(x)-1=0$.

• $\sin(x)=0$, falls $x=0$ oder $x=\pi$ oder $x=2\pi$

• $\sin(x)=1$, falls $x=\dfrac{\pi}{2}$

Gebe die Lösungen in einer Lösungsmenge an.

$L=\left\{0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, 2\pi \right\}$

$(1-\sin(x))(1+\sin(x))=\cos^2(x)$

Verwende die dritte binomische Formel auf der linken Seite der Gleichung.

$1-\sin^2(x) = \cos^2(x)$

Addiere auf beiden Seiten der Gleichungen $\sin^2(x)$.

$1=\sin^2(x)+\cos^2(x)$

Bemerke, dass dies genau der trigonometrische Pythagoras ist, welche für jede Stelle $x$ erfüllt ist.

$x \in [0{,}2\pi]$

Gegeben:

$\cos^2(x)+\sin^2(x)=2$

Verwende den trigonometrischen Pythagoras: $\sin^2(x)+\cos^2(x)=2$

Vergleichst du diese Formel mit der Augangsgleichung, erhälst du den Ausdruck "$1=2$", welcher jedoch nie erfüllt ist.

Lösungsmenge $L=\{ \}$

Sprechweise: "Die Lösungsmenge ist leer." bzw. "Es existiert keine Lösung."